Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 36093 | Ύλη: | 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 36093 |
| Ύλη: | 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου |
| Τελευταία Ενημέρωση: 22-Ιουλ-2024 | |
ΘΕΜΑ 36093
Δίνεται τρίγωνο \(ΑΒΓ\). Τα σημεία \(Δ\) και \(Ε\) είναι τα μέσα των πλευρών \(ΑΒ\) και \(ΑΓ\) αντίστοιχα. Επιπλέον ισχύουν \(ΑΔ=ΕΔ=ΔΒ\) με \(ΑΕ=8\) και \(ΔΒ=10\).
α) Να αποδείξετε ότι:
i. το τρίγωνο \(ΑΕΒ\) είναι ορθογώνιο, (Μονάδες 8)
ii. \(ΒΓ=20\). (Μονάδες 8)
β) Να υπολογίσετε την περίμετρο του τριγώνου \(ΑΒΓ\). (Μονάδες 9)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α)
i. Το \(Δ\) είναι μέσο του \(ΑΒ\), άρα \(ΔΒ = \dfrac{ΑΒ}{2}\). Επομένως ισχύει ότι \(ΑΔ = ΕΔ = ΔΒ = \dfrac{ΑΒ}{2}\).
Άρα στο τρίγωνο \(ΑΕΒ\) μια διάμεσός του, η \(ΕΔ\), ισούται με το μισό της πλευράς στην οποία αντιστοιχεί, δηλαδή την \(ΑΒ\). Επομένως, το τρίγωνο \(ΑΕΒ\) είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την πλευρά \(ΑΒ\).
ii. Ισχύει ότι \(ΑΔ = ΕΔ = ΔΒ = 10\). Το \(ΔΕ\) ενώνει τα μέσα των πλευρών \(ΑΒ\) και \(ΑΓ\) αντίστοιχα του τριγώνου \(ΑΒΓ\), οπότε θα είναι ίσο με το μισό της τρίτης πλευράς του \(ΒΓ\), δηλαδή:
$$ΔΕ = \frac{ΒΓ}{2} \;\Rightarrow\; 10 = \frac{ΒΓ}{2} \;\Rightarrow\; ΒΓ = 20$$
β) Επίσης είναι \(ΑΒ = 2ΔΒ = 20\). Η περίμετρος του τριγώνου \(ΑΒΓ\) είναι:
$$Π = ΑΒ + ΒΓ + ΑΓ = 20 + 20 + 2ΑΕ = 40 + 16 = 56$$
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).