Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 36095 | Ύλη: | 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.15. Εφαπτόμενα τμήματα |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 36095 |
| Ύλη: | 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.15. Εφαπτόμενα τμήματα |
| Τελευταία Ενημέρωση: 22-Ιουλ-2024 | |
ΘΕΜΑ 2
Από εξωτερικό σημείο \(P\) ενός κύκλου \((O,\rho)\) φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα \(PA\) και \(PB\). Αν \(M\) είναι ένα τυχαίο εσωτερικό σημείο του ευθυγράμμου τμήματος \(OP\), να αποδείξετε ότι:
α) τα τρίγωνα \(PAM\) και \(PMB\) είναι ίσα, (Μονάδες 12)
β) οι γωνίες \(\widehat{MAO}\) και \(\widehat{MBO}\) είναι ίσες. (Μονάδες 13)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
Φέρνουμε τις ακτίνες στα σημεία επαφής \(A\) και \(B\).
α) Συγκρίνουμε τα τρίγωνα \(PAM\) και \(PMB\). Έχουν:
- \(PM\) κοινή πλευρά
- \(PA = PB\), ως εφαπτόμενα τμήματα που άγονται από το \(P\) προς τον κύκλο
- \(\widehat{OPA} = \widehat{OPB}\), διότι η διακεντρική ευθεία \(PO\) διχοτομεί την γωνία \(\widehat{APB}\) των εφαπτόμενων τμημάτων \(PA\) και \(PB\).
Οπότε τα τρίγωνα \(PAM\) και \(PMB\) έχουν δυο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες (ΠΓΠ), άρα είναι ίσα.
β) Από την ισότητα των τριγώνων \(PAM\) και \(PMB\) προκύπτει ότι \(\widehat{PAM} = \widehat{PBM}\), ως γωνίες που βρίσκονται απέναντι από την κοινή πλευρά \(PM\) των δύο τριγώνων.
Επίσης \(\widehat{OAP} = \widehat{OBP} = 90^{\circ}\), διότι οι ακτίνες που καταλήγουν στα σημεία επαφής είναι κάθετες στις εφαπτόμενες ευθείες. Άρα \(\widehat{MAO} = \widehat{OAP} - \widehat{PAM} = \widehat{OBP} - \widehat{PBM} = \widehat{MBO}\).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).