Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 36098 | Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.15. Εφαπτόμενα τμήματα |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 36098 |
| Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.15. Εφαπτόμενα τμήματα |
| Τελευταία Ενημέρωση: 22-Ιουλ-2024 | |
ΘΕΜΑ 2
Στο παρακάτω σχήμα δίνεται κύκλος \((O,R)\) και τα εφαπτόμενα τμήματα \(MA\) και \(MB\). Προεκτείνουμε την \(AM\) κατά τμήμα \(MΓ=MA\) και την \(OM\) κατά τμήμα \(MΔ=OM\).
α) Να αποδείξετε ότι \(MB = MΓ\). (Μονάδες 10)
β) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα \(OMB\) και \(MΓΔ\) είναι ίσα. (Μονάδες 15)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Ισχύει ότι \(MA = MB\) ως εφαπτόμενα τμήματα που άγονται από σημείο εκτός κύκλου (το σημείο \(M\)). Επίσης, από υπόθεση ισχύει ότι \(MΓ = MA\) οπότε προκύπτει \(MB = MΓ\) \((1)\).
β) Ακόμα ισχύει ότι \(\widehat{AMO} = \widehat{BMO}\) \((2)\) γιατί η διακεντρική ευθεία \(OM\) διχοτομεί τη γωνία των εφαπτόμενων τμημάτων \(MA\), \(MB\), δηλαδή την \(\widehat{AMB}\).
Συγκρίνουμε τα τρίγωνα \(OMB\) και \(MΓΔ\), τα οποία έχουν:
- \(OM = MΔ\), από την υπόθεση
- \(MB = MΓ\), λόγω της \((1)\)
- \(\widehat{BMO} = \widehat{Γ MΔ}\), διότι \(\widehat{BMO} = \widehat{AMO}\) (λόγω της \((2)\)) και \(\widehat{AMO} = \widehat{Γ MΔ}\) (ως κατακορυφήν)
Οπότε τα τρίγωνα \(OMB\) και \(MΓΔ\) έχουν δυο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες (ΠΓΠ), άρα είναι ίσα.
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).