Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 36106 | Ύλη: | 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.1 Εισαγωγή 5.11. Ισοσκελές τραπέζιο |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 36106 |
| Ύλη: | 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.1 Εισαγωγή 5.11. Ισοσκελές τραπέζιο |
| Τελευταία Ενημέρωση: 24-Ιουλ-2024 | |
ΘΕΜΑ 2
Θεωρούμε ισοσκελές τραπέζιο \(ABΓΔ\) (\(AB \parallel ΓΔ\)) με \(ΓΔ > AB\) και \(\hat{B} = 135^{\circ}\). Από τις κορυφές \(A\) και \(B\) φέρουμε τα ύψη \(AE\) και \(BZ\).
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τραπεζίου. (Μονάδες 10)
β) Να αποδείξετε ότι \(AE=EΔ=BZ=Γ Z\). (Μονάδες 15)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Το τραπέζιο είναι ισοσκελές, άρα οι γωνίες οι προσκείμενες σε κάθε βάση του είναι ίσες, οπότε \(\widehat{BAΔ} = \widehat{ABΓ} = 135^{\circ}\) ως προσκείμενες στη βάση \(AB\).
Οι \(\widehat{ABΓ}\) και \(\widehat{BΓΔ}\) είναι εντός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων \(AB\), \(ΓΔ\) που τέμνονται από την \(BΓ\), άρα είναι παραπληρωματικές, δηλαδή:
$$\widehat{ABΓ} + \widehat{BΓΔ} = 180^{\circ} \text{ ή } 135^{\circ} + \widehat{BΓΔ} = 180^{\circ}, \text{ άρα } \widehat{BΓΔ} = 45^{\circ}$$
Επίσης είναι \(\widehat{AΔΓ} = \widehat{BΓΔ}\) ως γωνίες προσκείμενες στη βάση \(ΓΔ\) του ισοσκελούς τραπεζίου \(ABΓΔ\). Άρα \(\widehat{AΔΓ} = 45^{\circ}\).
β) Επειδή τα \(AE\), \(BZ\) είναι ύψη του τραπεζίου, τα τρίγωνα \(BZΓ\) και \(AEΔ\) είναι ορθογώνια.
Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(BZΓ\) είναι \(\hat{Γ} = 45^{\circ}\) και επειδή οι οξείες γωνίες του είναι συμπληρωματικές, θα ισχύει ότι:
$$\widehat{ZBΓ} + \hat{Γ} = 90^{\circ} \text{ ή } \widehat{ZBΓ} + 45^{\circ} = 90^{\circ}, \text{ άρα } \widehat{ZBΓ} = 45^{\circ}$$
Οπότε το τρίγωνο \(BZΓ\) έχει δυο γωνίες ίσες, άρα θα είναι ισοσκελές με \(BZ = ZΓ\) \((1)\).
Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(AEΔ\) είναι \(\hat{Δ} = 45^{\circ}\) και επειδή οι οξείες γωνίες του είναι συμπληρωματικές, θα ισχύει ότι:
$$\widehat{Δ AE} + \hat{Δ} = 90^{\circ} \text{ ή } \widehat{Δ AE} + 45^{\circ} = 90^{\circ}, \text{ άρα } \widehat{Δ AE} = 45^{\circ}$$
Οπότε το τρίγωνο \(AEΔ\) έχει δυο γωνίες ίσες, άρα θα ισοσκελές με \(AE = EΔ\) \((2)\).
Επίσης τα ύψη του τραπεζίου είναι ίσα, οπότε \(AE = BZ\) \((3)\).
Από \((1)\), \((2)\) και \((3)\) έχουμε \(AE = EΔ = BZ = Γ Z\).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).