Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 36110 | Ύλη: | 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 36110 |
| Ύλη: | 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων |
| Τελευταία Ενημέρωση: 24-Ιουλ-2024 | |
ΘΕΜΑ 2
Αν στο σχήμα που ακολουθεί είναι \(\widehat{AOB}=\widehat{BOΓ}=\widehat{ΓOΔ}\) και \(OA=OB=OΓ=OΔ\), τότε να αποδείξετε ότι:
α) \(AΓ=BΔ\), (Μονάδες 10)
β) το \(M\) είναι μέσον της \(BΔ\), όπου \(M\) το σημείο τομής των τμημάτων \(OΓ\) και \(BΔ\). (Μονάδες 15)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Έστω ότι \(\widehat{AOB} = \widehat{BOΓ} = \widehat{ΓOΔ} = \hat{\omega}\).
Τα τρίγωνα \(AOΓ\) και \(BOΔ\) έχουν:
- \(OA = OB\), από υπόθεση
- \(OΓ = OΔ\), από υπόθεση
- \(\widehat{AOΓ} = \widehat{BOΔ}\), διότι \(\widehat{AOΓ} = \widehat{AOB} + \widehat{BOΓ} = 2\hat{\omega}\) \((1)\) και \(\widehat{BOΔ} = \widehat{BOΓ} + \widehat{ΓOΔ} = 2\hat{\omega}\) \((2)\).
Επειδή τα τρίγωνα \(AOΓ\) και \(BOΔ\) έχουν δυο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες (ΠΓΠ), άρα είναι ίσα οπότε θα έχουν και \(AΓ = BΔ\) ως απέναντι πλευρές από τις ίσες γωνίες τους \(\widehat{AOΓ}\), \(\widehat{BOΔ}\) (όπως έχει δειχθεί από σχέσεις 1 και 2).
β) Επειδή είναι \(OB = OΔ\) από υπόθεση, το τρίγωνο \(BOΔ\) είναι ισοσκελές.
Επειδή είναι \(\widehat{BOΓ}=\widehat{ΓOΔ}\), η \(OM\) είναι διχοτόμος της γωνίας της κορυφής του, άρα είναι και διάμεσος στη βάση \(BΔ\) του ισοσκελούς \(BOΔ\). Επομένως το \(M\) είναι μέσο του \(BΔ\).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).