Τράπεζα Θεμάτων

ΛΥΣΗ

α) Οι γωνίες της βάσης \(ΓΔ\) του ισοσκελούς τραπεζίου \(ΑΒΓΔ\) είναι ίσες, άρα:

$$\hat{Δ} = \hat{Γ} = 60^{\circ}. \quad (1)$$

Οι γωνίες \(\hat{B}\) και \(\hat{Γ}\) του τραπεζίου \(ΑΒΓΔ\) είναι εντός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων \(ΑΒ\), \(ΓΔ\) που τέμνονται από την \(ΒΓ\), άρα είναι παραπληρωματικές:

$$\hat{B} + \hat{Γ} = 180^{\circ} \iff \hat{B} + 60^{\circ} = 180^{\circ} \iff \hat{B} = 120^{\circ}. \quad (2)$$

Άρα και \(\hat{A} = \hat{B} = 120^{\circ}\) ως γωνίες στη βάση \(ΑΒ\) του ισοσκελούς τραπεζίου \(ΑΒΓΔ\).

β) Επειδή τα \(ΑΕ\) και \(ΒΖ\) είναι ύψη του τραπεζίου από τις κορυφές \(Α\) και \(Β\) αντίστοιχα, τα τρίγωνα \(ΑΕΔ\) και \(ΒΖΓ\) είναι ορθογώνια με \(\hat{E} = \hat{Z} = 90^{\circ}\), τα οποία έχουν:

• \(AΔ = BΓ = 4\), διότι το τραπέζιο \(ΑΒΓΔ\) (\(AB \parallel ΓΔ\)) είναι ισοσκελές
• \(\hat{Δ} = \hat{Γ} = 60^{\circ}\), από σχέση \((1)\)

Άρα τα ορθογώνια τρίγωνα \(ΑΕΔ\) και \(ΒΖΓ\) είναι ίσα επειδή έχουν την υποτείνουσα και μία οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μία προς μία.

γ) Είναι \(\hat{B} = 120^{\circ}\) (σχέση 2) και \(\widehat{ABZ} = 90^{\circ}\) επειδή το \(ΒΖ\) ως ύψος είναι κάθετο στις βάσεις \(ΑΒ\), \(ΔΓ\) του τραπεζίου, άρα:

$$\widehat{ZBΓ} = \hat{B} - \widehat{ABZ} = 120^{\circ} - 90^{\circ} = 30^{\circ}.$$

Οπότε στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ΒΖΓ\), επειδή η πλευρά \(ΖΓ\) είναι απέναντι από τη γωνία των \(30^{\circ}\), θα ισούται με το μισό της υποτείνουσας:

$$ZΓ = \frac{BΓ}{2} = \frac{4}{2} = 2.$$

Επειδή τα τρίγωνα \(ΑΕΔ\) και \(ΒΖΓ\) είναι ίσα (από το β) ερώτημα) θα έχουν και \(Δ E = ZΓ = 2\).

Το τετράπλευρο \(ΑΒΖΕ\) είναι ορθογώνιο επειδή έχει τρεις ορθές γωνίες, τις \(\hat{E}\), \(\hat{Z}\) και \(\widehat{ABZ}\), επομένως ισχύει ότι \(EZ = AB = 6\), οπότε:

$$ΓΔ = Δ E + EZ + ZΓ = 2 + 6 + 2 = 10.$$

Η περίμετρος του \(ΑΒΓΔ\) είναι:

$$\Pi = AB + BΓ + ΓΔ + Δ A = 6 + 4 + 10 + 4 = 24.$$