Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Γεωμετρία	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	36113	Ύλη:	4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.3. Ορθογώνιο 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου 5.10. Τραπέζιο

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Γεωμετρία
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	36113
Ύλη:	4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.3. Ορθογώνιο 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου 5.10. Τραπέζιο
Τελευταία Ενημέρωση: 11-Μαΐ-2026

ΘΕΜΑ 2

Δίνεται τραπέζιο $ΑΒΓΔ$ ($AB \parallel ΓΔ$), με $AB = BΓ = 4$, $\hat{A} = 90^{\circ}$ και $\hat{Γ} = 60^{\circ}$. Φέρουμε το ύψος $ΒΕ$ από τη κορυφή $Β$.

α) Να υπολογίσετε τις άλλες δυο γωνίες του τραπεζίου $ΑΒΓΔ$. (Μονάδες 8)

β) Να αποδείξετε ότι $2EΓ = BΓ$. (Μονάδες 9)

γ) Αν $Μ$, $Ν$ τα μέσα των πλευρών $ΑΔ$, $ΒΓ$ αντίστοιχα να βρείτε το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος $ΜΝ$. (Μονάδες 8)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Αφού $\hat{A} = 90^{\circ}$ θα είναι $AΔ \perp AB$ και $AB \parallel ΓΔ$, άρα και $AΔ \perp ΓΔ$, οπότε $\hat{Δ} = 90^{\circ}$.

Οι γωνίες $\hat{B}$ και $\hat{Γ}$ του τραπεζίου $ΑΒΓΔ$ είναι εντός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων $ΑΒ$, $ΔΓ$ που τέμνονται από την $ΒΓ$, οπότε είναι παραπληρωματικές:

$$\hat{B} + \hat{Γ} = 180^{\circ} \iff \hat{B} + 60^{\circ} = 180^{\circ} \iff \hat{B} = 120^{\circ}.$$

β) Επειδή το $ΒΕ$ είναι ύψος του τραπεζίου από την κορυφή $Β$, τότε $\hat{E} = 90^{\circ}$ οπότε το τρίγωνο $ΒΕΓ$ θα είναι ορθογώνιο και οι οξείες γωνίες του θα είναι συμπληρωματικές:

$$\widehat{EBΓ} + \hat{Γ} = 90^{\circ} \iff \widehat{EBΓ} + 60^{\circ} = 90^{\circ} \iff \widehat{EBΓ} = 30^{\circ}.$$

Άρα η απέναντι κάθετη πλευρά $ΕΓ$ της $\widehat{EBΓ}$ στο τρίγωνο $ΒΕΓ$ θα ισούται με το μισό της υποτείνουσας:

$$EΓ = \frac{BΓ}{2}, \quad \text{άρα} \quad BΓ = 2EΓ.$$

γ) Είναι $EΓ = \dfrac{BΓ}{2} = \dfrac{4}{2} = 2$.

Τα τμήματα $ΑΔ$ και $ΒΕ$ σχηματίζουν ορθές γωνίες με τις παράλληλες πλευρές $ΑΒ$ και $ΔΓ$ του τραπεζίου $ΑΒΓΔ$, άρα το τετράπλευρο $ΑΒΕΔ$ είναι ορθογώνιο, οπότε $AB = Δ E = 4$.

Το τμήμα $ΜΝ$ ενώνει τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών του τραπεζίου, οπότε είναι διάμεσος του τραπεζίου $ΑΒΓΔ$ και ισχύει ότι:

$$MN = \frac{AB + ΓΔ}{2} = \frac{AB + Δ E + EΓ}{2} = \frac{4 + 4 + 2}{2} = 5.$$

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).