Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 36116 | Ύλη: | 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 36116 |
| Ύλη: | 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου |
| Τελευταία Ενημέρωση: 11-Μαΐ-2026 | |
ΘΕΜΑ 2
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) (με \(\hat{A} = 90^{\circ}\)) και η διχοτόμος της γωνίας \(\hat{Γ}\) τέμνει την πλευρά \(ΑΒ\) στο σημείο \(Δ\), τέτοιο ώστε \(ΓΔ = Δ B = 2\text{ cm}\).
Να αποδείξετε ότι:
α) \(\hat{B} = 30^{\circ}\). (Μονάδες 12)
β) \(AB = 3\text{ cm}\). (Μονάδες 13)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Επειδή είναι \(ΓΔ = Δ B\) από την υπόθεση, το τρίγωνο \(ΓΔΒ\) είναι ισοσκελές, οπότε:
$$\hat{B} = \widehat{ΔΓ B} = \frac{\hat{Γ}}{2}. \quad (1)$$
Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) οι οξείες γωνίες του είναι συμπληρωματικές, δηλαδή \(\hat{B} + \hat{Γ} = 90^{\circ}\) με \(\hat{B} = \dfrac{\hat{Γ}}{2}\), οπότε:
$$\frac{\hat{Γ}}{2} + \hat{Γ} = 90^{\circ} \iff \hat{Γ} + 2\hat{Γ} = 180^{\circ} \iff 3\hat{Γ} = 180^{\circ}, \quad \text{άρα } \hat{Γ} = 60^{\circ}.$$
Τότε από την \((1)\) είναι \(\hat{B} = \dfrac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}\).
β) Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΔΓ\) είναι \(\widehat{ΔΓ A} = \dfrac{\hat{Γ}}{2} = 30^{\circ}\). Άρα η πλευρά \(ΑΔ\), η οποία είναι απέναντι από τη γωνία \(\widehat{ΔΓ A}\), είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας \(ΓΔ\):
$$AΔ = \frac{ΓΔ}{2} = \frac{2}{2} = 1 \text{ cm}.$$
Τότε \(AB = AΔ + Δ B = 1\text{ cm} + 2\text{ cm} = 3\text{ cm}\).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).