Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 36117 | Ύλη: | 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 4.8. Άθροισμα γωνιών κυρτού ν-γώνου |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 36117 |
| Ύλη: | 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 4.8. Άθροισμα γωνιών κυρτού ν-γώνου |
| Τελευταία Ενημέρωση: 11-Μαΐ-2026 | |
ΘΕΜΑ 2
Στα ορθογώνια τρίγωνα \(ΑΒΓ\) και \(ΑΔΕ\) (γωνία \(Α\) ορθή) του παρακάτω σχήματος ισχύει \(\hat{B} = \hat{Δ} = 30^{\circ}\) και \(Ζ\) το σημείο τομής των πλευρών τους \(ΒΓ\) και \(ΔΕ\) αντίστοιχα.
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τετραπλεύρου \(ΑΕΖΓ\). (Μονάδες 13)
β) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα \(ΓΖΔ\) και \(ΕΒΖ\) είναι ισοσκελή. (Μονάδες 12)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Από το άθροισμα γωνιών του ορθογωνίου τριγώνου \(ΑΒΓ\) είναι:
$$\hat{A} + \hat{B} + \hat{Γ} = 180^{\circ} \iff 90^{\circ} + 30^{\circ} + \hat{Γ} = 180^{\circ} \iff \hat{Γ} = 60^{\circ}.$$
Από το άθροισμα γωνιών του ορθογωνίου τριγώνου \(ΑΔΕ\) είναι:
$$\hat{A} + \hat{Δ} + \widehat{AEΔ} = 180^{\circ} \iff 90^{\circ} + 30^{\circ} + \widehat{AEΔ} = 180^{\circ} \iff \widehat{AEΔ} = 60^{\circ}.$$
Η γωνία \(\widehat{AEΔ}\) είναι εξωτερική στο τρίγωνο \(ΕΖΒ\), οπότε ισχύει:
$$\widehat{AEΔ} = \widehat{EZB} + \hat{B} \iff 60^{\circ} = \widehat{EZB} + 30^{\circ} \iff \widehat{EZB} = 30^{\circ}.$$
Οι γωνίες \(\widehat{Γ ZE}\) και \(\widehat{EZB}\) είναι παραπληρωματικές, οπότε ισχύει:
$$\widehat{Γ ZE} + \widehat{EZB} = 180^{\circ} \iff \widehat{Γ ZE} + 30^{\circ} = 180^{\circ} \iff \widehat{Γ ZE} = 150^{\circ}.$$
Οπότε οι γωνίες του τετραπλεύρου \(ΑΕΖΓ\) είναι: \(\hat{A} = 90^{\circ}\), \(\widehat{AEZ} = 60^{\circ}\), \(\widehat{EZΓ} = 150^{\circ}\), \(\widehat{ZΓ A} = 60^{\circ}\).
β) Επειδή είναι \(\widehat{EZB} = \hat{B} = 30^{\circ}\), το τρίγωνο \(ΕΒΖ\) είναι ισοσκελές.
Επειδή οι γωνίες \(\widehat{EZB}\) και \(\widehat{Γ ZΔ}\) είναι κατακορυφήν, ισχύει ότι \(\widehat{Γ ZΔ} = \widehat{EZB} = 30^{\circ}\).
Άρα \(\widehat{Γ ZΔ} = \hat{Δ}\), οπότε το τρίγωνο \(ΓΖΔ\) είναι ισοσκελές.
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).