Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 36118 | Ύλη: | 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 36118 |
| Ύλη: | 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου |
| Τελευταία Ενημέρωση: 11-Μαΐ-2026 | |
ΘΕΜΑ 2
Στο παρακάτω σχήμα, οι \(ΑΔ\) και \(ΒΕ\) είναι παράλληλες. Επιπλέον ισχύουν \(AΔ = AΓ\), \(BE = BΓ\) και \(\hat{A} = 70^{\circ}\).
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες των τριγώνων \(ΑΔΓ\) και \(ΒΓΕ\). (Μονάδες 16)
β) Να αποδείξετε ότι \(\widehat{ΔΓ E} = 90^{\circ}\). (Μονάδες 9)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Επειδή \(AΔ = AΓ\), το τρίγωνο \(ΑΔΓ\) είναι ισοσκελές, οπότε \(\hat{Δ} = \widehat{ΔΓ A}\). \((1)\)
Από το άθροισμα γωνιών του τριγώνου \(ΑΔΓ\) και τη σχέση \((1)\) έχουμε:
$$\hat{A} + \hat{Δ} + \widehat{ΔΓ A} = 180^{\circ} \iff 70^{\circ} + 2\hat{Δ} = 180^{\circ} \iff \hat{Δ} = 55^{\circ}.$$
Οπότε \(\widehat{ΔΓ A} = \hat{Δ} = 55^{\circ}\).
Οι γωνίες \(\hat{A}\) και \(\hat{B}\) είναι εντός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων \(ΑΔ\), \(ΒΕ\) που τέμνονται από την \(ΑΒ\), οπότε είναι παραπληρωματικές. Άρα:
$$\hat{A} + \hat{B} = 180^{\circ} \iff 70^{\circ} + \hat{B} = 180^{\circ} \iff \hat{B} = 110^{\circ}.$$
Επειδή \(BE = BΓ\), το τρίγωνο \(ΒΕΓ\) είναι ισοσκελές, άρα \(\widehat{EΓ B} = \hat{E}\). \((2)\)
Από το άθροισμα γωνιών του τριγώνου \(ΒΕΓ\) έχουμε:
$$\hat{B} + \hat{E} + \widehat{EΓ B} = 180^{\circ} \iff 110^{\circ} + 2\hat{E} = 180^{\circ} \iff \hat{E} = 35^{\circ}.$$
Οπότε \(\widehat{EΓ B} = \hat{E} = 35^{\circ}\).
β) Ισχύει ότι:
$$\widehat{ΔΓ E} = 180^{\circ} - \widehat{ΔΓ A} - \widehat{EΓ B} = 180^{\circ} - 55^{\circ} - 35^{\circ} = 90^{\circ}.$$
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).