Τράπεζα Θεμάτων

ΛΥΣΗ

α) Από το άθροισμα γωνιών του τριγώνου \(ΑΒΓ\) έχουμε:

$$\hat{A} + \hat{B} + \hat{Γ} = 180^{\circ} \iff \hat{B} + 2\hat{B} = 180^{\circ} \iff 3\hat{B} = 180^{\circ}, \quad \text{οπότε } \hat{B} = 60^{\circ}. \quad (1)$$

β) Από το άθροισμα γωνιών του τριγώνου \(ΑΒΓ\) έχουμε:

$$\hat{A} + \hat{B} + \hat{Γ} = 180^{\circ} \iff 3\hat{Γ} + 60^{\circ} + \hat{Γ} = 180^{\circ} \iff 4\hat{Γ} = 120^{\circ}, \quad \text{οπότε } \hat{Γ} = 30^{\circ}. \quad (2)$$

Είναι \(\hat{A} + \hat{Γ} = 2\hat{B}\) από την υπόθεση, οπότε \(\hat{A} + 30^{\circ} = 2 \cdot 60^{\circ}\), άρα \(\hat{A} = 90^{\circ} (3)\)

Από το άθροισμα γωνιών του τριγώνου \(ΑΒΕ\) έχουμε:

$$\hat{Α} + \hat{ΑΒΕ} + \hat{ΑΕΒ} = 180^0$$

με \(\hat{A} = 90^{\circ}\) (σχέση 3) και \(\widehat{ABE} = \dfrac{\hat{B}}{2} = 30^{\circ}\) επειδή η \(ΒΕ\) είναι διχοτόμος (από υπόθεση) όπου \(\hat{Β}=60^0\) (σχέση 1), οπότε:

$$90^{\circ} + \frac{\hat{B}}{2} + \widehat{AEB} = 180^{\circ} \iff \frac{60^{\circ}}{2} + \widehat{AEB} = 90^{\circ} \iff \widehat{AEB} = 60^{\circ}. \quad (4)$$

Από το άθροισμα γωνιών του ορθογωνίου τριγώνου \(ΑΔΓ\) έχουμε, με \(\hat{Δ} = 90^{\circ}\) επειδή η \(ΑΔ\) είναι ύψος και \(\hat{Γ} = 30^{\circ}\) (σχέση 2):

$$\widehat{Γ AΔ} + 90^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ} \iff \widehat{Γ AΔ} = 60^{\circ}. \quad (5)$$

Από το άθροισμα γωνιών του τριγώνου \(ΑΖΕ\) έχουμε, με \(\widehat{ZAE} = \widehat{Γ AΔ} = 60^{\circ}\) (σχέση 5) και \(\widehat{AEZ} = \widehat{AEB} = 60^{\circ}\) (σχέση 4):

$$60^{\circ} + \widehat{AZE} + 60^{\circ} = 180^{\circ} \iff \widehat{AZE} = 60^{\circ}.$$

Το τρίγωνο \(ΑΖΕ\) έχει όλες τις γωνίες του ίσες, οπότε είναι ισόπλευρο.