Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 36168 | Ύλη: | 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 36168 |
| Ύλη: | 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών |
| Τελευταία Ενημέρωση: 11-Μαΐ-2026 | |
ΘΕΜΑ 2
Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο \(ΑΒΓ\) είναι ορθογώνιο με ορθή τη γωνία \(\hat{A}\) και η γωνία \(\hat{Γ}\) είναι μικρότερη της γωνίας \(\hat{B}\). Η \(ΒΔ\) είναι διχοτόμος της γωνίας \(\hat{B}\) και η \(ΔΕ\) είναι κάθετη στην \(ΒΓ\).
Να αποδείξετε ότι:
α) \(AΔ = Δ E\), (Μονάδες 8)
β) \(AΔ < ΔΓ\), (Μονάδες 9)
γ) \(AΓ > AB\). (Μονάδες 8)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Το σημείο \(Δ\) ανήκει στη διχοτόμο της γωνίας \(Β\), άρα ισαπέχει από τις πλευρές \(ΒΑ\), \(ΒΓ\) της γωνίας αυτής. Επειδή είναι \(AΔ \perp AB\) αφού η γωνία \(\hat{A}\) είναι ορθή (από υπόθεση) και \(Δ E \perp BΓ\) (από υπόθεση), τότε τα \(ΑΔ\) και \(ΔΕ\) είναι οι αποστάσεις του σημείου \(Δ\) από τις πλευρές \(ΒΑ\) και \(ΒΓ\) της γωνίας \(Β\) αντίστοιχα, άρα \(AΔ = Δ E\).
β) Αφού η \(ΔΕ\) είναι κάθετη στην \(ΒΓ\) (από υπόθεση), το τρίγωνο \(ΔΕΓ\) είναι ορθογώνιο με ορθή τη γωνία \(\hat{E}\) και η πλευρά \(ΔΓ\) είναι πλευρά απέναντι από την ορθή γωνία \(\hat{E}\), άρα είναι η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου. Οπότε \(Δ E < ΔΓ\) και επειδή \(Δ E = AΔ\) από το α) ερώτημα, προκύπτει ότι \(AΔ < ΔΓ\).
γ) Γνωρίζουμε ότι σ' ένα τρίγωνο απέναντι από άνισες γωνίες βρίσκονται ομοίως άνισες πλευρές. Στο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) ισχύει \(\hat{Γ} < \hat{B}\) από υπόθεση, οπότε \(AB < AΓ\).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).