Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 36331 | Ύλη: | 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 36331 |
| Ύλη: | 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών |
| Τελευταία Ενημέρωση: 25-Ιουλ-2024 | |
ΘΕΜΑ 2
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) με τη γωνία \(Α\) ορθή και από το μέσο \(Μ\) της πλευράς \(ΒΓ\) φέρουμε τα κάθετα τμήματα \(ΜΔ\) και \(ΜΕ\) στις πλευρές \(ΑΒ\) και \(ΑΓ\) αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι:
α) Αν είναι \(ΜΔ = ΜΕ\), τότε:
i. τα τρίγωνα \(ΒΔΜ\) και \(ΓΕΜ\) είναι ίσα, (Μονάδες 8)
ii. το τρίγωνο \(ΑΒΓ\) είναι ισοσκελές. (Μονάδες 9)
β) Αν είναι \(ΑΒ = ΑΓ\), τότε \(ΜΔ = ΜΕ\). (Μονάδες 8)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α)
i. Τα τρίγωνα \(ΒΔΜ\) και \(ΓΕΜ\) είναι ορθογώνια αφού τα \(ΜΔ\), \(ΜΕ\) είναι κάθετα τμήματα στις πλευρές \(ΑΒ\), \(ΑΓ\) αντίστοιχα από τα δεδομένα.
Τα ορθογώνια τρίγωνα \(ΒΔΜ\) και \(ΓΕΜ\) έχουν:
\(ΜΔ = ΜΕ\)
\(ΜΒ = ΜΓ\), διότι \(Μ\) μέσο της \(ΒΓ\).
Άρα τα ορθογώνια τρίγωνα \(ΒΔΜ\) και \(ΓΕΜ\) είναι ίσα γιατί έχουν δυο ομόλογες πλευρές ίσες μία προς μία.
ii. Από τα ίσα τρίγωνα \(ΒΔΜ\) και \(ΓΕΜ\) προκύπτει ότι \(\hat{B} = \hat{Γ}\), διότι είναι γωνίες απέναντι από τις ίσες πλευρές τους \(ΜΔ\) και \(ΜΕ\) αντίστοιχα. Άρα το \(ΑΒΓ\) είναι ισοσκελές τρίγωνο.
β) Από την υπόθεση έχουμε \(AB = AΓ\), άρα το τρίγωνο \(ΑΒΓ\) είναι ισοσκελές.
Τα ορθογώνια τρίγωνα \(ΒΔΜ\) και \(ΓΕΜ\) έχουν:
\(ΜΒ = ΜΓ\), διότι \(Μ\) μέσο της \(ΒΓ\) από τα δεδομένα
\(\hat{B} = \hat{Γ}\), ως προσκείμενες στη βάση \(ΒΓ\) του ισοσκελούς τριγώνου \(ΑΒΓ\)
Άρα τα τρίγωνα \(ΒΔΜ\) και \(ΓΕΜ\) είναι ίσα γιατί έχουν μια πλευρά και την προσκείμενη σε αυτή οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μία προς μία, οπότε ισχύει \(ΜΔ = ΜΕ\) ως απέναντι πλευρές στις ίσες γωνίες \(\hat{B}\) και \(\hat{Γ}\).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).