Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 36343 | Ύλη: | 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 36343 |
| Ύλη: | 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα |
| Τελευταία Ενημέρωση: 25-Ιουλ-2024 | |
ΘΕΜΑ 2
Έστω ισοσκελές τρίγωνο \(ΑΒΓ\) με \(ΑΒ = ΑΓ\). Από τα μέσα \(Κ\) και \(Λ\) των πλευρών \(ΑΓ\) και \(ΑΒ\) αντίστοιχα, φέρουμε τα κάθετα τμήματα \(ΚΕ\) και \(ΛΖ\) στην πλευρά \(ΒΓ\).
Να αποδείξετε ότι:
α) τα τρίγωνα \(ΚΕΓ\) και \(ΛΖΒ\) είναι ίσα. (Μονάδες 15)
β) \(ΕΗ = ΖΘ\), όπου \(Η, Θ\) τα μέσα των τμημάτων \(ΚΓ, ΛΒ\) αντίστοιχα. (Μονάδες 10)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Τα τρίγωνα \(ΚΕΓ\) και \(ΛΖΒ\) είναι ορθογώνια με \(\hat{E} = \hat{Z} = 90^{\circ}\) επειδή από τα δεδομένα έχουμε ότι τα τμήματα \(ΚΕ\) και \(ΛΖ\) είναι κάθετα στη \(ΒΓ\).
Τα ορθογώνια τρίγωνα \(ΚΕΓ\) και \(ΛΖΒ\) έχουν:
\(ΚΓ = ΛΒ\), ως μισά των ίσων πλευρών \(ΑΓ, ΑΒ\) αντίστοιχα του ισοσκελούς \(ΑΒΓ\) της υπόθεσης με \(Κ, Λ\) τα αντίστοιχα μέσα τους
\(\hat{B} = \hat{Γ}\), ως γωνίες προσκείμενες στη βάση του ισοσκελούς τριγώνου \(ΑΒΓ\).
Οπότε τα ορθογώνια τρίγωνα \(ΚΕΓ\) και \(ΛΖΒ\) είναι ίσα γιατί έχουν την υποτείνουσα και μια οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μία προς μία.
β) Η \(ΕΗ\) είναι διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα \(ΚΓ\) του ορθογωνίου τριγώνου \(ΚΕΓ\), οπότε ισχύει: \(EH = \frac{KΓ}{2}\) \((1)\).
Η \(ΖΘ\) είναι διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα \(ΛΒ\) του ορθογωνίου τριγώνου \(ΛΖΒ\), άρα \(Z\Theta = \frac{Λ B}{2}\) \((2)\).
Επειδή \(ΚΓ = ΛΒ\) ως μισά των ίσων πλευρών \(ΑΓ, ΑΒ\) αντίστοιχα του τριγώνου \(ΑΒΓ\), από τις σχέσεις \((1)\) και \((2)\) προκύπτει ότι \(ΕΗ = ΖΘ\).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).