Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 36344 | Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.4. 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 3.14. Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 36344 |
| Ύλη: | 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων 3.4. 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 3.14. Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου |
| Τελευταία Ενημέρωση: 26-Ιουλ-2024 | |
ΘΕΜΑ 2
Έστω κύκλος με κέντρο \(Ο\) και ακτίνα \(ρ\). Σε σημείο \(Ν\) του κύκλου φέρουμε την εφαπτόμενή του, και εκατέρωθεν του \(Ν\) θεωρούμε σημεία \(Α\) και \(Β\), τέτοια ώστε \(ΝΑ = ΝΒ\). Οι \(ΟΑ\) και \(ΟΒ\) τέμνουν τον κύκλο στα \(Κ\) και \(Λ\) αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι:
α) το τρίγωνο \(ΑΟΒ\) είναι ισοσκελές, (Μονάδες 13)
β) το σημείο \(Ν\) είναι μέσο του τόξου \(ΚΛ\). (Μονάδες 12)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Στο τρίγωνο \(ΟΑΒ\), το τμήμα \(ΟΝ\) είναι:
ύψος στην πλευρά \(ΑΒ\), επειδή η \(ΟΝ\) ως ακτίνα που αντιστοιχεί στο σημείο επαφής του κύκλου με την εφαπτόμενη είναι κάθετη σε αυτήν.
διάμεσος στην πλευρά \(ΑΒ\), επειδή \(ΝΑ = ΝΒ\) από τα δεδομένα.
Συνεπώς, το τρίγωνο \(ΟΑΒ\) είναι ισοσκελές με βάση \(ΑΒ\).
β) Στο ισοσκελές τρίγωνο \(ΟΑΒ\) η \(ΟΝ\) ως διάμεσος θα είναι και διχοτόμος της γωνίας \(\hat{O}\), οπότε \(\widehat{AON} = \widehat{BON}\), άρα και \(\widehat{KON} = \widehat{Λ ON}\).
Επειδή οι επίκεντρες γωνίες \(\widehat{KON}\) και \(\widehat{Λ ON}\) είναι ίσες, θα είναι και τα αντίστοιχα τόξα τους ίσα, δηλαδή τα τόξα \(ΚΝ\) και \(ΛΝ\). Άρα το \(Ν\) είναι μέσο του τόξου \(ΚΛ\).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).