Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 36655 | Ύλη: | 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης 6.3. Η Συνάρτηση ƒ(x) = αx + β |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 36655 |
| Ύλη: | 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης 6.3. Η Συνάρτηση ƒ(x) = αx + β |
| Τελευταία Ενημέρωση: 27-Σεπ-2023 | |
ΘΕΜΑ 4
Δίνεται η συνάρτηση \(f(x)=\dfrac{x+2}{\sqrt{9-x^{2}}}\).
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \(f\).
(Μονάδες 10)
β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \(f\) με τους άξονες.
(Μονάδες 7)
γ) Αν \(Α\) και \(Β\) είναι τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της \(f\) με τους άξονες \(x'x\) και \(y'y\) αντίστοιχα, να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που ορίζεται από τα \(Α\) και \(Β\).
(Μονάδες 8)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) H συνάρτηση ορίζεται μόνο όταν:
$$9-x^{2}>0 $$ $$\Leftrightarrow x^{2}<9 $$ $$\Leftrightarrow |x|<3 $$ $$\Leftrightarrow -3 < x < 3 $$
Άρα, \(A_{f}=(-3,3)\).
β) Η \(C_{f}\) τέμνει τον άξονα \(x'x\) μόνο όταν για κάποιο \(x\in A_{f}\) ισχύει \(f(x)=0\). Είναι:
$$f(x)=0 $$ $$\Leftrightarrow \dfrac{x+2}{\sqrt{9-x^{2}}}=0 $$ $$\Leftrightarrow x+2=0 $$ $$\Leftrightarrow x=-2$$
Επομένως η \(C_{f}\) τέμνει τον άξονα \(x'x\) στο σημείο \(A(-2,0)\).
Επίσης έχουμε:
$$f(0)=\dfrac{0+2}{\sqrt{9-0}}=\dfrac{2}{3}$$
Άρα η \(C_{f}\) τέμνει τον άξονα \(y'y\) στο σημείο \(B(0,\dfrac{2}{3})\).
γ) Έστω \((ε):y=αx+β\) η εξίσωση της ζητούμενης ευθείας. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α, Β είναι:
$$α=\dfrac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}$$ $$=\dfrac{\dfrac{2}{3}-0}{0-(-2)}$$ $$=\dfrac{\dfrac{2}{3}}{2}=\dfrac{1}{3}$$
Άρα η εξίσωση της ευθείας γράφεται:
$$(ε):y=\dfrac{1}{3}x+β$$
Επιπλέον η ευθεία διέρχεται από το σημείο \(Α(-2,0)\), οπότε οι συντεταγμένες του Α την επαληθεύουν. Έτσι, έχουμε:
$$0=\dfrac{1}{3}(-2)+β $$ $$\Leftrightarrow β-\dfrac{2}{3}=0 $$ $$\Leftrightarrow β=\dfrac{2}{3}$$
Επομένως η εξίσωση της ευθείας είναι \((ε):y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{2}{3}\).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).