Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Γεωμετρία	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	37008	Ύλη:	3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 5.2. Παραλληλόγραμμα

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Γεωμετρία
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	37008
Ύλη:	3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 5.2. Παραλληλόγραμμα
Τελευταία Ενημέρωση: 12-Μαΐ-2026

ΘΕΜΑ 2

Έστω ορθογώνιο \(ΑΒΓΔ\) και τα σημεία \(Ν\) και \(Κ\) των \(ΑΒ\) και \(ΔΓ\) αντίστοιχα, τέτοια ώστε \(ΑΝ = ΚΓ\).

Να αποδείξετε ότι:

α) τα τρίγωνα \(ΑΝΔ\) και \(ΒΓΚ\) είναι ίσα, (Μονάδες 12)

β) το τετράπλευρο \(ΝΒΚΔ\) είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 13)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

Έστω ορθογώνιο \(ΑΒΓΔ\) και σημεία \(Ν\) και \(Κ\) πάνω στις \(ΑΒ\) και \(ΓΔ\) αντίστοιχα τέτοια ώστε \(ΑΝ = ΓΚ\).

α) Τα τρίγωνα \(ΑΝΔ\) και \(ΒΓΚ\) έχουν:

\(\hat{A} = \hat{Γ} = 90^{\circ}\), αφού το \(ΑΒΓΔ\) είναι ορθογώνιο.
\(ΑΝ = ΚΓ\), από υπόθεση
\(ΑΔ = ΒΓ\), ως απέναντι πλευρές του ορθογωνίου \(ΑΒΓΔ\)

Άρα, τα τρίγωνα \(ΑΝΔ\) και \(ΒΓΚ\) είναι ίσα ως ορθογώνια που έχουν τις κάθετες πλευρές τους ίσες μία προς μία.

β) Ισχύει \(ΑΒ = ΔΓ\) \((1)\) γιατί είναι απέναντι πλευρές του ορθογωνίου \(ΑΒΓΔ\) και επίσης είναι \(ΑΝ = ΚΓ\) \((2)\) από υπόθεση.

Αφαιρώντας κατά μέλη τις σχέσεις ισότητας \((1)\) και \((2)\) βρίσκουμε:

\(ΑΒ – ΑΝ = ΔΓ – ΚΓ\), δηλαδή \(ΒΝ = ΚΔ\) \((3)\)

Είναι \(ΔΝ = ΒΚ\) \((4)\) ως υποτείνουσες των ίσων τριγώνων \(ΑΝΔ\) και \(ΒΓΚ\) (ερώτημα α).

Από \((3)\) και \((4)\) προκύπτει ότι το τετράπλευρο \(ΝΒΚΔ\) είναι παραλληλόγραμμο γιατί έχει τις απέναντι πλευρές του ίσες.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).