Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 37013 | Ύλη: | 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 37013 |
| Ύλη: | 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου |
| Τελευταία Ενημέρωση: 01-Αυγ-2024 | |
ΘΕΜΑ 2
Έστω ισοσκελές τρίγωνο \(ΑΒΓ\) (\(ΑΒ = ΑΓ\)).
α) Να αποδείξετε ότι τα μέσα \(Δ\) και \(Ε\) των πλευρών \(ΑΒ\) και \(ΑΓ\) αντίστοιχα, ισαπέχουν από τη βάση \(ΒΓ\). (Μονάδες 13)
β) Αν \(\hat{A} = 75^{\circ} + \hat{B}\), να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου \(ΑΒΓ\). (Μονάδες 12)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο \(ΑΒΓ\) με \(ΑΒ = ΑΓ\).
α) Έστω \(Δ\), \(Ε\) τα μέσα των πλευρών του \(ΑΒ\), \(ΑΓ\) και \(ΔΖ\), \(ΕΗ\) οι αποστάσεις των \(Ε\), \(Ζ\) από τη βάση \(ΒΓ\).
Τα τρίγωνα \(ΔΖΒ\) και \(ΕΗΓ\) έχουν:
- \(\widehat{BZΔ} = \widehat{Γ HE} = 90^{\circ}\) αφού \(ΔΖ\) και \(ΕΗ\) ως αποστάσεις, από την υπόθεση, είναι κάθετες στη \(ΒΓ\).
- \(ΔΒ = ΕΓ\) ως μισά των ίσων πλευρών \(ΑΒ\) και \(ΑΓ\) του τριγώνου \(ΑΒΓ\)
- \(\hat{B} = \hat{Γ}\) ως προσκείμενες γωνίες στη βάση \(ΒΓ\) του ισοσκελούς τριγώνου \(ΑΒΓ\)
Άρα τα τρίγωνα \(ΔΖΒ\) και \(ΕΗΓ\) είναι ορθογώνια που έχουν μια κάθετη πλευρά και την προσκείμενη σε αυτήν οξεία γωνία ίσες μία προς μία, άρα είναι ίσα.
Οπότε έχουν και \(ΔΖ = ΕΗ\) ως πλευρές απέναντι από τις ίσες γωνίες \(\hat{B}\) και \(\hat{Γ}\) αντίστοιχα.
Δηλαδή, τα σημεία \(Δ\) και \(Ε\) ισαπέχουν από τη βάση \(ΒΓ\).
β) Για τις γωνίες του τριγώνου \(ΑΒΓ\) έχουμε:
\(\hat{A} + \hat{B} + \hat{Γ} = 180^{\circ}\) ή \(75^{\circ} + \hat{B} + \hat{B} + \hat{B} = 180^{\circ}\) ή \(3\hat{B} = 105^{\circ}\), άρα \(\hat{B} = 35^{\circ}\).
Οπότε \(\hat{A} = 75^{\circ} + 35^{\circ} = 110^{\circ}\).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).