Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 37016 | Ύλη: | 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 37016 |
| Ύλη: | 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου |
| Τελευταία Ενημέρωση: 01-Αυγ-2024 | |
ΘΕΜΑ 2
Δίνεται τρίγωνο \(ΑΒΓ\) τέτοιο, ώστε \(AΓ < AB\). Στην πλευρά \(ΑΒ\) θεωρούμε σημείο \(Δ\) τέτοιο ώστε \(AΔ = AΓ\) και στην προέκταση της \(ΒΑ\) (προς το \(Α\)) θεωρούμε σημείο \(Ε\) τέτοιο ώστε \(AE = AΓ\).
Να αποδείξετε ότι:
α) τα τμήματα \(ΔΓ\) και \(ΕΓ\) είναι κάθετα μεταξύ τους, (Μονάδες 12)
β) η γωνία \(\widehat{E AΓ}\) είναι διπλάσια της γωνίας \(\widehat{AΔΓ}\). (Μονάδες 13)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
Έστω τρίγωνο \(ΑΒΓ\) με \(ΑΓ < ΑΒ\), σημείο \(Δ\) στην πλευρά \(ΑΒ\) τέτοιο ώστε \(ΑΔ = ΑΓ\) και σημείο \(Ε\) στην προέκταση της \(ΒΑ\) τέτοιο ώστε \(ΑΕ = ΑΓ\).
α) Φέρνουμε τα τμήματα \(ΔΓ\) και \(ΓΕ\).
Αφού από υπόθεση είναι \(ΑΔ = ΑΓ\) και \(ΑΕ = ΑΓ\), τότε \(AΔ = AΓ = AE = \dfrac{Δ E}{2}\). Οπότε στο τρίγωνο \(ΔΓΕ\) το τμήμα \(ΑΓ\) είναι διάμεσος στην πλευρά του \(ΔΕ\) και είναι ίσο με το μισό της πλευράς \(ΔΕ\).
Επομένως, το τρίγωνο \(ΔΓΕ\) είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την πλευρά \(ΔΕ\) και με ορθή τη γωνία \(\widehat{EΓΔ}\), άρα τα τμήματα \(ΔΓ\) και \(ΕΓ\) είναι κάθετα μεταξύ τους.
β) Επειδή είναι \(ΑΓ = ΑΔ\), το τρίγωνο \(ΑΔΓ\) είναι ισοσκελές, άρα \(\widehat{AΓΔ} = \widehat{AΔΓ}\) \((1)\).
Η \(\widehat{EAΓ}\) είναι εξωτερική γωνία του τριγώνου \(ΑΔΓ\), οπότε είναι \(\widehat{EAΓ} = \widehat{AΓΔ} + \widehat{AΔΓ}\) και αφού είναι \(\widehat{AΓΔ} = \widehat{AΔΓ}\) λόγω της σχέσης \((1)\), άρα \(\widehat{EAΓ} = \widehat{AΔΓ} + \widehat{AΔΓ} = 2\widehat{AΔΓ}\).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).