Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 37082 | Ύλη: | 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 37082 |
| Ύλη: | 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα |
| Τελευταία Ενημέρωση: 01-Αυγ-2024 | |
ΘΕΜΑ 4
Σε τρίγωνο \(ΑΒΓ\) ισχύει \(\hat{A} + \hat{Γ} = 2\hat{B}\) και έστω \(ΑΔ\) ύψος και \(ΒΕ\) διχοτόμος του τριγώνου που τέμνονται στο \(Ζ\).
α) Να αποδείξετε ότι:
i. \(\hat{B} = 60^{\circ}\) και \(ΑΖ = ΒΖ\), (Μονάδες 10)
ii. \(AΔ = \dfrac{3}{2}BZ\) (Μονάδες 8)
β) Αν είναι γνωστό ότι το τρίγωνο \(ΑΖΕ\) είναι ισόπλευρο, να υπολογίσετε τις άλλες γωνίες του τριγώνου \(ΑΒΓ\). (Μονάδες 7)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α)
i. Στο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) είναι:
$$\hat{A} + \hat{B} + \hat{Γ} = 180^{\circ} \text{ ή } \hat{B} + 2\hat{B} = 180^{\circ} \text{ ή } 3\hat{B} = 180^{\circ} \text{ ή } \hat{B} = 60^{\circ}$$
Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΔΒ\) (\(ΑΔ\) ύψος, άρα \(ΑΔ ⊥ ΒΓ\)) για τις οξείες γωνίες του ισχύει:
$$\widehat{B AΔ} + \widehat{ABΔ} = 90^{\circ} \text{ ή } \widehat{BAΔ} = 30^{\circ}$$
Επειδή η \(ΒΕ\) είναι διχοτόμος της γωνίας \(\hat{B}\), ισχύει ότι \(\widehat{ABZ} = \dfrac{\widehat{ABΔ}}{2} = \dfrac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}\).
Επειδή \(\widehat{BAΔ} = \widehat{ABZ} = 30^{\circ}\) συμπεραίνουμε ότι το τρίγωνο \(ΑΒΖ\) είναι ισοσκελές με βάση \(ΑΒ\), οπότε \(ΑΖ = ΒΖ\).
ii. Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ΒΔΖ\) είναι \(\widehat{ZBΔ} = 30^{\circ}\), άρα η απέναντι κάθετη πλευρά του ισούται με το μισό της υποτείνουσας, δηλαδή \(ZΔ = \dfrac{BZ}{2}\).
Τότε \(ΑΔ = ΑΖ + ΖΔ\) και \(ΑΖ = ΒΖ\) από το α)i, οπότε \(AΔ = BZ + \dfrac{BZ}{2} = \dfrac{3}{2}BZ\).
β) Αν το τρίγωνο \(ΑΖΕ\) είναι ισόπλευρο, ισχύει ότι \(\widehat{ZAE} = 60^{\circ}\). Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΔΓ\) για τις οξείες γωνίες του ισχύει: \(\widehat{Δ AΓ} + \hat{Γ} = 90^{\circ}\) άρα \(\hat{Γ} = 30^{\circ}\).
Επίσης από το α)i. έχουμε \(\hat{B} = 60^{\circ}\) οπότε:
$$\widehat{BAΓ} + \hat{B} + \hat{Γ} = 180^{\circ} \text{ ή } \widehat{BAΓ} + 60^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ} \text{ ή } \widehat{BAΓ} = 90^{\circ}$$
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).