Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 37083 | Ύλη: | 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.3. Ορθογώνιο |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 37083 |
| Ύλη: | 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.3. Ορθογώνιο |
| Τελευταία Ενημέρωση: 01-Αυγ-2024 | |
ΘΕΜΑ 4
Στην παρακάτω εικόνα φαίνεται μια κρεμάστρα τοίχου η οποία αποτελείται από έξι ίσα ευθύγραμμα κομμάτια ξύλου (\(ΑΔ\), \(ΒΓ\), \(ΓΖ\), \(ΔΗ\), \(ΖΚ\), \(ΗΛ\)) που είναι στερεωμένα με έντεκα καρφιά (\(Α\), \(Β\), \(Γ\), \(Δ\), \(Θ\), \(Ε\), \(Μ\), \(Η\), \(Κ\), \(Λ\), \(Ζ\)). Αν το σημείο \(Θ\), είναι μέσο των τμημάτων \(ΑΔ\) και \(ΒΓ\) ενώ το σημείο \(Ε\) είναι μέσο των τμημάτων \(ΓΖ\) και \(ΔΗ\), να αποδείξετε ότι:
α) Το τετράπλευρο \(ΓΗΖΔ\) είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 10)
β) Τα σημεία \(Β\), \(Δ\), \(Ζ\) είναι συνευθειακά. (Μονάδες 9)
γ) Το τετράπλευρο \(ΑΓΖΔ\) είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 6)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α)
Επειδή \(ΓΕ = ΕΖ\) και \(ΕΗ = ΔΕ\), αφού \(Ε\) μέσο των \(ΓΖ\) και \(ΔΗ\), στο τετράπλευρο \(ΓΗΖΔ\) οι διαγώνιες του διχοτομούνται και είναι ίσες, άρα είναι ορθογώνιο.
β)
Επειδή \(ΘΑ = ΘΔ\) και \(ΘΓ = ΘΒ\), αφού \(Θ\) μέσο των \(ΑΔ\) και \(ΒΓ\), στο τετράπλευρο \(ΑΒΓΔ\) οι διαγώνιες του διχοτομούνται και είναι ίσες, άρα είναι ορθογώνιο, οπότε \(\widehat{BΔΓ} = 90^{\circ}\). Επίσης το \(ΓΗΖΔ\) είναι ορθογώνιο από το α) οπότε \(\widehat{ΓΔ Z} = 90^{\circ}\).
Τότε \(\widehat{BΔ Z} = \widehat{BΔΓ} + \widehat{ΓΔ Z} = 180^{\circ}\), οπότε τα σημεία \(Β\), \(Δ\), \(Ζ\) είναι συνευθειακά.
γ)
Από το ορθογώνιο \(ΑΓΔΒ\) συμπεραίνουμε ότι \(ΑΓ // ΒΔ\) οπότε \(ΑΓ // ΔΖ\) αφού \(Β\), \(Δ\), \(Ζ\) συνευθειακά σημεία από το β). Τα τρίγωνα \(ΑΓΔ\) και \(ΗΔΖ\) έχουν:
- \(\widehat{AΓΔ} = \widehat{ΓΔ Z} = 90^{\circ}\) (\(ΑΒΓΔ\) και \(ΓΗΖΔ\) ορθογώνια παραλληλόγραμμα)
- \(ΓΔ\) κοινή πλευρά
- \(ΑΔ = ΓΖ\), από υπόθεση
Άρα τα τρίγωνα \(ΑΓΔ\) και \(ΓΔΖ\) είναι ίσα, γιατί είναι ορθογώνια με ίσες υποτείνουσες και μία κάθετη πλευρά ίση. Οπότε και οι άλλες κάθετες πλευρές τους θα είναι ίσες, δηλαδή \(ΑΓ = ΔΖ\).
Τελικά, το \(ΑΓΖΔ\) έχει τις απέναντι πλευρές του \(ΑΓ\) και \(ΔΖ\) ίσες και παράλληλες οπότε είναι παραλληλόγραμμο.
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).