Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Γεωμετρία	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	37086	Ύλη:	3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.3. Ορθογώνιο 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα 5.10. Τραπέζιο

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Γεωμετρία
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	37086
Ύλη:	3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.3. Ορθογώνιο 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα 5.10. Τραπέζιο
Τελευταία Ενημέρωση: 01-Αυγ-2024

ΘΕΜΑ 4

Θεωρούμε παραλληλόγραμμο $ΑΒΓΔ$ και τις προβολές $Α΄$, $Β΄$, $Γ΄$, $Δ΄$ και $Ο΄$ των κορυφών του $Α$, $Β$, $Γ$, $Δ$ και του κέντρου του $Ο$ αντίστοιχα, σε μία ευθεία $ε$.

α) Αν η ευθεία $(ε)$ αφήνει τις κορυφές του παραλληλογράμμου στο ίδιο ημιεπίπεδο (όπως στο σχήμα που ακολουθεί) και είναι $ΑΑ΄= 3$, $ΒΒ΄= 2$, $ΓΓ΄= 5$, τότε:

i. Να αποδείξετε ότι η απόσταση $ΟΟ΄$ του κέντρου $Ο$ του παραλληλογράμμου από την $(ε)$ είναι ίση με 4. (Μονάδες 8)

ii. Να βρείτε την απόσταση $ΔΔ΄$. (Μονάδες 9)

β) Αν η ευθεία $(ε)$ διέρχεται από το κέντρο του παραλληλογράμμου και είναι παράλληλη προς δύο απέναντι πλευρές του, τι παρατηρείτε για τις αποστάσεις $ΑΑ΄$, $ΒΒ΄$, $ΓΓ΄$, $ΔΔ΄$. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 8)

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ

α) Είναι $ΑΑ΄//ΒΒ΄//ΓΓ΄//ΔΔ΄//ΟΟ΄$ ως κάθετα τμήματα στην ίδια ευθεία $(ε)$.

Η ευθεία $(ε)$ δεν είναι παράλληλη στη διαγώνιο $ΑΓ$ γιατί: Αν είναι $ε//ΑΓ$ τότε, επειδή επιπλέον έχουμε ότι $ΑΑ΄//ΓΓ΄$, το $ΑΑ΄ΓΓ΄$ θα είναι παραλληλόγραμμο και επομένως $ΑΑ΄=ΓΓ΄$ ως απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου. Όμως $ΑΑ΄=3≠5=ΓΓ΄$, άτοπο.

Από την παραλληλία $ΑΑ΄$ και $ΓΓ΄$ το $ΑΑ΄Γ΄Γ$ είναι τραπέζιο με διάμεσο $ΟΟ΄$.

Άρα $ΟΟ' = \dfrac{ΑΑ'+ΓΓ'}{2} = \dfrac{3+5}{2} = 4$.

ii.

Η ευθεία $(ε)$ δεν είναι παράλληλη ούτε στη διαγώνιο $ΒΔ$, γιατί αν ήταν, τότε όπως προηγουμένως θα είχαμε ότι το $ΒΟΟ΄Β΄$ είναι παραλληλόγραμμο, επομένως $ΒΒ΄=ΟΟ΄$, άτοπο γιατί $ΒΒ΄=2≠4=ΟΟ΄$.

Από την παραλληλία $ΒΒ΄$ και $ΔΔ΄$, το $ΒΒ΄Δ΄Δ$ είναι τραπέζιο με διάμεσο το $ΟΟ΄$, άρα:

$$ΟΟ' = \frac{ΒΒ' + ΔΔ'}{2} \quad \text{ή} \quad 4 = \frac{2 + ΔΔ'}{2} \quad \text{ή} \quad 8 = 2 + ΔΔ' \quad \text{ή} \quad ΔΔ' = 6$$

β) Αν η $(ε)$ είναι παράλληλη στις $ΑΒ$ και $ΓΔ$ και διέρχεται από το κέντρο $Ο$, τότε η $(ε)$ θα είναι μεσοπαράλληλη των $ΑΒ$, $ΓΔ$.

Οπότε τα τετράπλευρα $ΑΑ΄Β΄Β$ και $ΔΔ΄Γ΄Γ$ επειδή έχουν τις απέναντι πλευρές τους παράλληλες θα είναι παραλληλόγραμμα με μία ορθή γωνία οπότε είναι ορθογώνια. Τα τρίγωνα $ΟΑΑ΄$ και $ΟΓΓ΄$ είναι ορθογώνια και έχουν $ΟΑ=ΟΓ$ γιατί το $Ο$ είναι το κέντρο του $ΑΒΓΔ$ και $\widehat{ΑΟΑ'} = \widehat{ΓΟΓ'}$ ως κατακορυφήν γωνίες. Οπότε είναι ίσα γιατί έχουν υποτείνουσες ίσες και μία οξεία γωνία ίση. Άρα $ΑΑ΄=ΓΓ΄$ και επειδή $ΑΑ΄=ΒΒ΄$ και $ΓΓ΄=ΔΔ΄$ ως απέναντι πλευρές των ορθογωνίων $ΑΑ΄Β΄Β$ και $ΓΓ΄Δ΄Δ$, συμπεραίνουμε ότι $ΑΑ΄=ΒΒ΄=ΓΓ΄=ΔΔ΄$.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).