Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 37106 | Ύλη: | 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 37106 |
| Ύλη: | 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα |
| Τελευταία Ενημέρωση: 01-Αυγ-2024 | |
ΘΕΜΑ 4
Δίνεται τρίγωνο \(ΑΒΓ\) με \(ΑΒ < ΒΓ\) και η διχοτόμος \(ΒΕ\) της γωνίας \(\widehat{Β}\). Αν \(ΑΖ \perp ΒΕ\), όπου \(Ζ\) σημείο της \(ΒΓ\) και \(Μ\) το μέσον της \(ΑΓ\), να αποδείξετε ότι:
α) Το τρίγωνο \(ΑΒΖ\) είναι ισοσκελές.
(Μονάδες 7)
β) \(ΔΜ \parallel ΒΓ\) και \(ΔΜ = \frac{ΒΓ-ΑΒ}{2}\).
(Μονάδες 10)
γ) \(\widehat{ΕΔΜ} = \frac{\widehat{Β}}{2}\), όπου \(\widehat{Β}\) η γωνία του τριγώνου \(ΑΒΓ\).
(Μονάδες 8)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Στο τρίγωνο \(ΑΒΖ\) το \(ΒΔ\) είναι ύψος και διχοτόμος, οπότε είναι ισοσκελές με βάση την \(ΑΖ\).
β) Από το α) η διχοτόμος \(ΒΔ\) είναι και διάμεσος, άρα το \(Δ\) είναι μέσο της \(ΑΖ\).
Στο τρίγωνο \(ΑΖΓ\) το \(ΔΜ\) ενώνει τα μέσα \(Δ\) και \(Μ\) των πλευρών \(ΑΖ\) και \(ΑΓ\) αντίστοιχα οπότε:
\(ΔΜ \parallel ΖΓ\) ή \(ΔΜ \parallel ΒΓ\).
Επίσης ισχύει ότι: \(ΔΜ = \frac{ΖΓ}{2} = \frac{ΒΓ-ΒΖ}{2}\) όμως \(ΒΖ = ΑΒ\) από το (α) ερώτημα, άρα \(ΔΜ = \frac{ΒΓ-ΑΒ}{2}\)
γ) Είναι \(\widehat{ΕΔΜ} = \widehat{ΕΒΓ} = \frac{\widehat{Β}}{2}\) ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες των παραλλήλων \(ΔΜ\), \(ΒΓ\) που τέμνονται από την \(ΒΕ\).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).