Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 37107 | Ύλη: | 4.4. Γωνίες με πλευρές παράλληλες 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.3. Ορθογώνιο 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα 5.11. Ισοσκελές τραπέζιο |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 37107 |
| Ύλη: | 4.4. Γωνίες με πλευρές παράλληλες 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.3. Ορθογώνιο 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα 5.11. Ισοσκελές τραπέζιο |
| Τελευταία Ενημέρωση: 01-Αυγ-2024 | |
ΘΕΜΑ 4
Στο παρακάτω σχήμα δίνεται τρίγωνο \(ΑΒΓ\), η διχοτόμος \(Βx\) της γωνίας \(\widehat{Β}\) του τριγώνου \(ΑΒΓ\) και η διχοτόμος \(Βy\) της εξωτερικής γωνίας \(\widehat{Β}\). Αν \(Δ\) και \(Ε\) είναι οι προβολές της κορυφής \(Α\) του τριγώνου \(ΑΒΓ\) στην \(Βx\) και \(Βy\) αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:
α) Το τετράπλευρο \(ΑΔΒΕ\) είναι ορθογώνιο.
(Μονάδες 7)
β) Η ευθεία \(ΕΔ\) είναι παράλληλη προς τη \(ΒΓ\) και διέρχεται από το μέσο \(Μ\) της \(ΑΓ\).
(Μονάδες 10)
γ) Το τετράπλευρο \(ΚΜΓΒ\) είναι τραπέζιο και η διάμεσός του είναι ίση με \(\frac{3\alpha}{4}\), όπου \(α=ΒΓ\).
(Μονάδες 8)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Οι \(Βx\) και \(Βy\) είναι διχοτόμοι των γωνιών \(\widehat{Β}\) και \(\widehat{Β}_{εξ}\), θέτουμε \(\widehat{ΓΒΔ} = \widehat{ΔΒΑ} = \widehat{\omega}\) και \(\widehat{ΑΒΕ} = \widehat{ΕΒΖ} = \widehat{\varphi}\).
Τότε: \(\widehat{ΓΒΔ} + \widehat{ΔΒΑ} + \widehat{ΑΒΕ} + \widehat{ΕΒΖ} = 180^{\circ}\) ή \(\widehat{\omega} + \widehat{\omega} + \widehat{\varphi} + \widehat{\varphi} = 180^{\circ}\) ή \(2\widehat{\omega} + 2\widehat{\varphi} = 180^{\circ}\)
ή \(\widehat{\omega} + \widehat{\varphi} = 90^{\circ}\) ή \(\widehat{ΕΒΔ} = \widehat{\omega} + \widehat{\varphi} = 90^{\circ}\)
Το τετράπλευρο \(ΑΔΒΕ\) έχει τρεις γωνίες ορθές άρα είναι ορθογώνιο.
β) Οι διαγώνιοι \(ΕΔ\) και \(ΑΒ\) του ορθογωνίου \(ΑΔΒΕ\) είναι ίσες και διχοτομούνται. Άρα:
\(ΑΒ = ΕΔ\) ή \(\frac{ΑΒ}{2} = \frac{ΕΔ}{2}\) ή \(ΚΒ = ΚΔ\)
Επομένως το τρίγωνο \(ΚΒΔ\) είναι ισοσκελές και ισχύει ότι \(\widehat{ΚΒΔ} = \widehat{ΚΔΒ}\) \((1)\).
Ισχύει ακόμη ότι \(\widehat{ΚΒΔ} = \widehat{ΔΒΓ} = \widehat{\omega}\) \((2)\).
Από \((1)\), \((2)\) βρίσκουμε \(\widehat{ΚΔΒ} = \widehat{ΔΒΓ}\).
Δηλαδή οι ευθείες \(ΕΔ\) και \(ΒΓ\) που τέμνονται από τη \(ΒΔ\) σχηματίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες τους ίσες, άρα είναι \(ΕΔ \parallel ΒΓ\).
Στο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) το \(Κ\) είναι μέσο της \(ΑΒ\) και \(ΚΜ \parallel ΒΓ\), άρα η \(ΚΜ\) διέρχεται από το μέσο \(Μ\) της \(ΑΓ\).
γ) Επειδή το \(ΚΜ\) ενώνει μέσα δύο πλευρών του τριγώνου \(ΑΒΓ\), είναι:
\(ΚΜ \parallel ΒΓ\) \((3)\) και \(ΚΜ = \frac{ΒΓ}{2}\) \((4)\)
Από την \((3)\) και γνωρίζοντας ότι οι \(ΚΒ\) και \(ΜΓ\) δεν είναι παράλληλες αφού τέμνονται στο \(Α\), προκύπτει ότι το τετράπλευρο \(ΚΜΓΒ\) είναι τραπέζιο. Η διάμεσος του τραπεζίου, είναι ίση με \(\frac{ΚΜ+ΒΓ}{2}\). Αντικαθιστώντας το \(ΚΜ\) από τη σχέση \((4)\) έχουμε
$$\frac{\frac{ΒΓ}{2} + ΒΓ}{2} = \frac{\frac{3ΒΓ}{2}}{2} = \frac{3ΒΓ}{4} = \frac{3\alpha}{4}$$
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).