Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 37109 | Ύλη: | 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.3. Ορθογώνιο 5.4. Ρόμβος |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 37109 |
| Ύλη: | 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.3. Ορθογώνιο 5.4. Ρόμβος |
| Τελευταία Ενημέρωση: 31-Ιουλ-2024 | |
ΘΕΜΑ 4
Δίνεται παραλληλόγραμμο \(ΑΒΓΔ\) και σημεία \(Κ\), \(Λ\) της διαγωνίου του \(ΒΔ\), τέτοια ώστε να ισχύει \(ΒΚ = ΚΛ = ΛΔ\).
α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο \(ΑΚΓΛ\) είναι παραλληλόγραμμο.
(Μονάδες 10)
β) Να αποδείξετε ότι, αν το αρχικό παραλληλόγραμμο \(ΑΒΓΔ\) είναι ρόμβος, τότε και το \(ΑΚΓΛ\) είναι ρόμβος.
(Μονάδες 8)
γ) Ποια πρέπει να είναι η σχέση των διαγωνίων του αρχικού παραλληλογράμμου \(ΑΒΓΔ\), ώστε το \(ΑΚΓΛ\) να είναι ορθογώνιο. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 7)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Έστω \(Ο\) το σημείο τομής των διαγωνίων \(ΑΓ\), \(ΒΔ\) του παραλληλογράμμου \(ΑΒΓΔ\). Επειδή οι διαγώνιες διχοτομούνται, είναι \(ΟΑ = ΟΓ\) \((1)\) και \(ΟΒ = ΟΔ\) \((2)\).
Από τη \((2)\) βρίσκουμε: \(ΟΒ = ΟΔ\) ή \(ΟΚ + ΚΒ = ΟΛ + ΛΔ\) ή \(ΟΚ = ΟΛ\) \((3)\), γιατί από υπόθεση έχουμε \(ΚΒ = ΛΔ\).
Λόγω των σχέσεων \((1)\) και \((3)\), το τετράπλευρο \(ΑΚΓΛ\) είναι παραλληλόγραμμο αφού οι διαγώνιές του διχοτομούνται.
β) Επειδή το \(ΑΒΓΔ\) είναι ρόμβος, για τις διαγώνιες του \(ΑΓ\) και \(ΒΔ\) ισχύει \(ΑΓ \perp ΒΔ\). Τότε όμως και στο παραλληλόγραμμο \(ΑΚΓΛ\) οι διαγώνιες του θα είναι κάθετες και συνεπώς θα είναι ρόμβος.
γ) Για να είναι το \(ΑΚΓΛ\) ορθογώνιο πρέπει οι διαγώνιές του να είναι ίσες, δηλαδή
\(ΑΓ = ΚΛ \text{ ή } ΑΓ = \frac{ΒΔ}{3}\)
Πρέπει δηλαδή η διαγώνιος \(ΑΓ\) του τετραπλεύρου \(ΑΒΓΔ\) να ισούται με το \(\frac{1}{3}\) της διαγωνίου \(ΒΔ\).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).