Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 37114 | Ύλη: | 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα 5.10. Τραπέζιο |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 37114 |
| Ύλη: | 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα 5.10. Τραπέζιο |
| Τελευταία Ενημέρωση: 31-Ιουλ-2024 | |
ΘΕΜΑ 4
Δίνεται παραλληλόγραμμο \(ΑΒΓΔ\) με \(ΑΒ < ΑΔ\) και έστω \(Ο\) το σημείο τομής των διαγωνίων του \(ΑΓ\) και \(ΒΔ\). Φέρνουμε την \(ΑΕ\) κάθετη στην διαγώνιο \(ΒΔ\). Αν το \(Ζ\) είναι το συμμετρικό του \(Α\) ως προς την διαγώνιο \(ΒΔ\) και δεν συμπίπτει με το σημείο \(Γ\), τότε να αποδείξετε ότι:
α) Το τρίγωνο \(ΑΔΖ\) είναι ισοσκελές.
(Μονάδες 7)
β) \(ΖΓ = 2ΟΕ\).
(Μονάδες 9)
γ) Το \(ΒΔΖΓ\) είναι ισοσκελές τραπέζιο.
(Μονάδες 9)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Το \(ΔΕ\) είναι ύψος και διάμεσος στο τρίγωνο \(ΑΔΖ\), άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
β) Το \(ΟΕ\) ενώνει τα μέσα \(Ο\) και \(Ε\) των πλευρών \(ΑΓ\) και \(ΑΖ\) αντίστοιχα, στο τρίγωνο \(ΑΖΓ\) άρα
\(ΟΕ = \frac{ΖΓ}{2}\), οπότε \(ΖΓ = 2ΟΕ\).
γ) Επειδή το \(ΟΕ\) ενώνει τα μέσα \(Ο\) και \(Ε\) των πλευρών \(ΑΓ\) και \(ΑΖ\) αντίστοιχα στο τρίγωνο \(ΑΖΓ\) θα ισχύει ότι \(ΟΕ \parallel ΖΓ\), άρα και \(ΒΔ \parallel ΖΓ\). Η \(ΒΖ\) τέμνει την \(ΑΒ\) άρα τέμνει και την παράλληλή της \(ΓΔ\), οπότε οι πλευρές \(ΒΖ\) και \(ΓΔ\) δεν είναι παράλληλες. Άρα το \(ΒΔΖΓ\) είναι τραπέζιο.
Στο τρίγωνο \(ΑΒΖ\) το \(ΒΕ\) είναι ύψος και διάμεσος, άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Άρα \(ΒΖ = ΑΒ\) αλλά και \(ΑΒ = ΓΔ\) ως απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου, οπότε \(ΒΖ = ΓΔ\). Άρα το τετράπλευρο \(ΒΔΖΓ\) είναι ισοσκελές τραπέζιο.
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).