Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 37116 | Ύλη: | 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα 5.8. Το ορθόκεντρο τριγώνου |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 37116 |
| Ύλη: | 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα 5.8. Το ορθόκεντρο τριγώνου |
| Τελευταία Ενημέρωση: 19-Σεπ-2025 | |
ΘΕΜΑ 4
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο \(ΑΒΓ\) με \(ΑΒ = ΑΓ\) και το ύψος του \(ΑΜ\). Φέρουμε \(ΜΔ\) κάθετη στην \(ΑΓ\) και θεωρούμε \(Η\) το μέσο του τμήματος \(ΜΔ\). Από το \(Η\) φέρουμε παράλληλη στη \(ΒΓ\) η οποία τέμνει τις \(ΑΜ\) και \(ΑΓ\) στα σημεία \(Κ\) και \(Ζ\) αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι:
α) \(ΗΖ=\dfrac{ΒΓ}{4}\)
(Μονάδες 9)
β) \(ΜΖ // ΒΔ\)
(Μονάδες 8)
γ) Η ευθεία \(ΑΗ\) είναι κάθετη στη \(ΒΔ\).
(Μονάδες 8)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Στο ισοσκελές τρίγωνο \(ΑΒΓ\) το \(ΑΜ\) είναι ύψος που αντιστοιχεί στη βάση του, οπότε είναι και διάμεσος του τριγώνου. Άρα \(ΓΜ = \dfrac{ΒΓ}{2}\ \ \ \ (1)\).
Στο τρίγωνο \(ΜΔΓ\) το \(Η\) είναι μέσο της \(ΜΔ\) και \(ΗΖ // ΜΓ\), άρα το \(Ζ\) είναι μέσο της \(ΔΓ\) και ισχύει ότι: \(HZ = \dfrac{ΓΜ}{2}\ \ \ \ (2)\)
Από (1), (2) βρίσκουμε: \(HZ = \dfrac{ΓΜ}{2}= \dfrac{\dfrac{ΒΓ}{2}}{2}=\dfrac{ΒΓ}{4}\)
β) Στο τρίγωνο \(ΒΔΓ\) το \(ΜΖ\) ενώνει τα μέσα \(Μ\) και \(Ζ\) των πλευρών \(ΒΓ\) και \(ΔΓ\) αντίστοιχα, άρα: \(ΜΖ // ΒΔ\).
γ) Είναι \(ΚΖ // ΒΓ\) και \(ΒΓ⊥ΑΜ\), άρα \(ΚΖ⊥ΑΜ\).
Στο τρίγωνο \(ΑΜΖ\) τα \(ΜΔ\), \(ΖΚ\) είναι ύψη, άρα το σημείο τομής τους \(Η\) , είναι ορθόκεντρο του τριγώνου. Επομένως το \(ΑΗ\) είναι το τρίτο ύψος του τριγώνου. Δηλαδή \(AH⊥MZ\) και επειδή \(MZ // BΔ\) είναι και \(AH⊥BΔ\).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).