Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 37130 | Ύλη: | 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου 5.10. Τραπέζιο 5.11. Ισοσκελές τραπέζιο |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 37130 |
| Ύλη: | 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου 5.10. Τραπέζιο 5.11. Ισοσκελές τραπέζιο |
| Τελευταία Ενημέρωση: 12-Μαΐ-2026 | |
ΘΕΜΑ 4
Σε παραλληλόγραμμο \(ΑΒΓΔ\) με \(ΑΒ > ΒΓ\) και \(\widehat{Β} < 90^{\circ}\) θεωρούμε σημείο \(Ζ\) στην προέκταση της \(ΒΓ\) (προς το \(Γ\)) τέτοιο ώστε \(ΓΖ = ΒΓ\). Αν \(Ε\) είναι σημείο της \(ΑΒ\), τέτοιο ώστε \(ΕΓ = ΓΒ\), να αποδείξετε ότι:
α) η γωνία \(ΒΕΖ\) είναι ορθή,
(Μονάδες 8)
β) το τετράπλευρο \(ΑΕΓΔ\) είναι ισοσκελές τραπέζιο,
(Μονάδες 8)
γ) το τετράπλευρο \(ΑΓΖΔ\) είναι παραλληλόγραμμο.
(Μονάδες 9)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
Έστω παραλληλόγραμμο \(ΑΒΓΔ\) με \(ΑΒ > ΒΓ\), \(\widehat{Β} < 90^{\circ}\) και σημεία \(Ζ\) και \(Ε\) στην προέκταση της \(ΒΓ\) προς το \(Γ\) και στη πλευρά \(ΑΒ\) αντίστοιχα τέτοια ώστε \(ΒΓ = ΓΖ = ΕΓ\).
α) Φέρνουμε το τμήμα \(ΕΖ\) και σχηματίζεται το τρίγωνο \(ΒΕΖ\).
Στο τρίγωνο \(ΒΕΖ\) αφού είναι \(ΒΓ = ΓΖ\) (υπόθεση) τότε το \(Γ\) είναι μέσο του \(ΒΖ\) και ισχύει \(ΕΓ = ΓΖ = ΓΒ\), δηλαδή \(ΕΓ = \frac{ΒΖ}{2}\). Οπότε η \(ΕΓ\) είναι διάμεσος στην πλευρά \(ΒΖ\) και είναι ίση με το μισό της πλευράς αυτής. Επομένως, το τρίγωνο \(ΒΕΖ\) είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την \(ΒΖ\), άρα είναι \(\widehat{ΒΕΖ} = 90^{\circ}\).
β) Έχουμε ότι \(ΒΓ \parallel ΑΔ\) ως απέναντι πλευρές του παραλληλογράμμου \(ΑΒΓΔ\). Η \(ΕΓ\) τέμνει την \(ΒΓ\), άρα η \(ΕΓ\) θα τέμνει και την παράλληλή της \(ΑΔ\). Επίσης είναι \(ΑΒ \parallel ΔΓ\) ως απέναντι πλευρές του παραλληλογράμμου \(ΑΒΓΔ\), άρα και \(ΑΕ \parallel ΔΓ\).
Άρα το τετράπλευρο \(ΑΕΓΔ\) είναι τραπέζιο γιατί έχει μόνο δυο πλευρές παράλληλες, τις \(ΑΕ\) και \(ΔΓ\).
Επειδή είναι \(ΕΓ = ΒΓ\) από υπόθεση και \(ΒΓ = ΑΔ\) ως απέναντι πλευρές του παραλληλογράμμου \(ΑΒΓΔ\), θα είναι \(ΑΔ = ΕΓ\). Άρα το τραπέζιο \(ΑΕΓΔ\) είναι ισοσκελές.
γ) Φέρνουμε τα τμήματα \(ΑΓ\) και \(ΔΖ\).
Λόγω του παραλληλογράμμου \(ΑΒΓΔ\) έχουμε ότι \(ΑΔ \parallel ΒΓ\) και επειδή το \(Ζ\) είναι στην προέκταση της \(ΒΓ\) τέτοιο ώστε \(ΓΖ = ΒΓ\) θα είναι \(ΑΔ \parallel =ΓΖ\). Άρα, το τετράπλευρο \(ΑΓΖΔ\) είναι παραλληλόγραμμο.
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).