Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 37135 | Ύλη: | 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 5.10. Τραπέζιο 5.11. Ισοσκελές τραπέζιο |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 37135 |
| Ύλη: | 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 5.10. Τραπέζιο 5.11. Ισοσκελές τραπέζιο |
| Τελευταία Ενημέρωση: 09-Μαΐ-2026 | |
ΘΕΜΑ 4
Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο \(ΑΒΓΔ\) με \(ΑΒ // ΓΔ\) και \(ΑΔ= ΒΓ =ΑΒ\) . Φέρουμε τμήματα \(ΑΕ\) και \(ΒΖ\) κάθετα στις διαγώνιες \(ΒΔ\) και \(ΑΓ\) αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι:
α) Τα σημεία \(Ζ\) και \(Ε\) είναι μέσα των διαγωνίων \(ΑΓ\) και \(ΒΔ\) αντίστοιχα.
(Μονάδες 5)
β) \(ΑΕ =ΒΖ\).
(Μονάδες 8)
γ) Το τετράπλευρο \(ΑΕΖΒ\) είναι ισοσκελές τραπέζιο.
(Μονάδες 7)
δ) Η \(ΒΔ\) είναι διχοτόμος της γωνίας \(Δ\).
(Μονάδες 5)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Επειδή \(ΑΔ = ΑΒ\), το τρίγωνο \(ΑΔΒ\) είναι ισοσκελές οπότε το ύψος \(ΑΕ\) είναι και διάμεσος, δηλαδή το \(Ε\) είναι μέσο της \(ΒΔ\). Όμοια, επειδή \(ΑΒ = ΒΓ\), το τρίγωνο \(ΑΒΓ\) είναι ισοσκελές οπότε το ύψος \(ΒΖ\) είναι και διάμεσος, δηλαδή το \(Ζ\) είναι μέσο της \(ΑΓ\).
β) Τα τρίγωνα \(ΑΒΕ\) και \(ΑΒΖ\) είναι ορθογώνια, αφού από υπόθεση είναι \(ΑΕ Ʇ ΒΔ\) και \(ΒΖ Ʇ ΑΓ\), και έχουν:
- \(ΑΒ\) κοινή πλευρά
- \(ΑΖ = ΑΕ\), ως μισά των ίσων διαγωνίων \(ΑΓ\), \(ΒΔ\) του ισοσκελούς τραπεζίου.
Άρα τα ορθογώνια τρίγωνα \(ΑΒΕ\) και \(ΑΒΖ\) είναι ίσα γιατί έχουν την υποτείνουσα και μια οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μία προς μία. Οπότε έχουν και τις άλλες κάθετες πλευρές τους ίσες, δηλαδή \(ΑΕ = ΒΖ\) (1).
γ) Τα σημεία \(Ε\) και \(Ζ\) είναι μέσα των διαγωνίων του τραπεζίου \(ΑΒΓΔ\), άρα θα ισχύει ότι:
\(ΕΖ // ΑΒ // ΓΔ\).
Επειδή είναι \(\hat{ΑΕΖ}= 90^ο + \hat{ΒΕΖ}\) και \(\hat{ΒΖΕ}= 90^ο + \hat{ΑΖΕ}\) θα είναι \(\hat{ΑΕΖ}+ \hat{ΒΕΖ}> 180^ο\). Επομένως, οι \(ΑΕ\) και \(ΒΖ\) δεν είναι παράλληλες. Άρα, το τετράπλευρο \(ΑΕΖΒ\) είναι τραπέζιο γιατί έχει μόνο δυο πλευρές του παράλληλες.
Επειδή είναι \(ΑΕ = ΒΖ\) (λόγω της (1)) προκύπτει ότι το τραπέζιο \(ΑΕΖΒ\) είναι ισοσκελές.
δ) Επειδή το τρίγωνο \(ΑΔΒ\) είναι ισοσκελές με βάση την \(ΒΔ\), ισχύει ότι:
\(\hat{ΑΔΒ}= \hat{ΑΒΔ}\) (2)
Ισχύει επίσης ότι \(\hat{ΑΒΔ}\)= \hat{ΒΔΓ}$ (3) ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων \(ΑΒ\), \(ΓΔ\) που τέμνονται από την \(ΒΔ\).
Άρα από τις (2), (3) προκύπτει ότι \(\hat{ΑΔΒ} =\hat{ΒΔΓ}\), δηλαδή η \(ΒΔ\) είναι διχοτόμος της γωνίας \(\hat{Δ}\).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).