Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 37136 | Ύλη: | 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 37136 |
| Ύλη: | 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών 5.2. Παραλληλόγραμμα 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου |
| Τελευταία Ενημέρωση: 19-Σεπ-2025 | |
ΘΕΜΑ 4
Δίνεται παραλληλόγραμμο \(ΑΒΓΔ\) τέτοιο ώστε αν φέρουμε την κάθετη στην \(ΑΓ\) στο κέντρο του \(Ο\), αυτή τέμνει την προέκταση της \(ΑΔ\) σε σημείο \(Ε\) τέτοιο ώστε \(ΔΕ=ΑΔ\).
Να αποδείξετε ότι:
α) Το τρίγωνο \(ΑΕΓ\) είναι ισοσκελές.
(Μονάδες 7)
β) Το τετράπλευρο \(ΒΓΕΔ\) είναι παραλληλόγραμμο.
(Μονάδες 9)
γ) Το τρίγωνο \(ΒΟΓ\) είναι ισοσκελές.
(Μονάδες 9)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Επειδή το \(ΑΒΓΔ\) είναι παραλληλόγραμμο οι διαγώνιες του διχοτομούνται, άρα το \(Ο\) είναι μέσο των \(ΑΓ\), \(ΒΔ\). Επίσης \(ΟΕ⊥ΑΓ\) από υπόθεση. Άρα στο τρίγωνο \(ΑΕΓ\) το \(ΟΕ\) είναι ύψος και διάμεσος, οπότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
β) Είναι \(ΒΓ = ΑΔ = ΔΕ\) και \(ΒΓ // ΑΔ\) ,οπότε \(ΒΓ // ΔΕ\).
Άρα στο τετράπλευρο \(ΒΓΕΔ\) δύο απέναντι πλευρές του είναι ίσες και παράλληλες, οπότε είναι παραλληλόγραμμο.
γ) Ισχύουν τα εξής:
- \(ΟΔ = ΟΒ\) (1), διότι οι διαγώνιες του παραλληλογράμμου \(ΑΒΓΔ\) διχοτομούνται.
- \(ΑΔ = ΒΓ\) (2), διότι οι απέναντι πλευρές του παραλληλογράμμου \(ΑΒΓΔ\) είναι ίσες.
Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΟΕ\) η \(ΟΔ\) είναι διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα, άρα:
\(ΟΔ =\dfrac{ΑΕ}{2}=\dfrac{2ΑΔ}{2}= ΑΔ\) (3)
Από τις σχέσεις (1), (2) και (3) προκύπτει ότι \(ΟΒ = ΒΓ\).
Οπότε το τρίγωνο \(ΒΟΓ\) είναι ισοσκελές.
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).