Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 37139 | Ύλη: | 3.4. 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.7. Κύκλος - Μεσοκάθετος - Διχοτόμος 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα 5.11. Ισοσκελές τραπέζιο |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 37139 |
| Ύλη: | 3.4. 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.7. Κύκλος - Μεσοκάθετος - Διχοτόμος 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα 5.11. Ισοσκελές τραπέζιο |
| Τελευταία Ενημέρωση: 19-Σεπ-2025 | |
ΘΕΜΑ 4
Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο \(ΑΒΓΔ\) (\(ΑΒ//ΔΓ\)) και \(Ο\) το σημείο τομής των διαγωνίων του. Η \(ΑΓ\) είναι κάθετη στην \(ΑΔ\) και η \(ΒΔ\) είναι κάθετη στην \(ΒΓ\). Θεωρούμε τα μέσα \(Μ\), \(Ε\) και \(Ζ\) των \(ΓΔ\), \(ΒΔ\) και \(ΑΓ\) αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι:
α) \(ΜΕ=ΜΖ\).
(Μονάδες 6)
β) Η \(ΜΖ\) είναι κάθετη στην \(ΑΓ\).
(Μονάδες 6)
γ) Τα τρίγωνα \(ΜΔΕ\) και \(ΜΖΓ\) είναι ίσα.
(Μονάδες 7)
δ) Η \(ΟΜ\) είναι μεσοκάθετος του \(ΕΖ\).
(Μονάδες 6)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Το \(ΜΕ\) ενώνει τα μέσα δύο πλευρών στο τρίγωνο \(ΔΒΓ\), οπότε \(EM =\dfrac{ΒΓ}{2}\)
Το \(ΖΜ\) ενώνει τα μέσα δύο πλευρών στο τρίγωνο \(ΓΑΔ\), άρα \(ΜΖ // ΑΔ\) και \(ΜΖ =\dfrac{ΑΔ}{2}\)
Επίσης, το \(ΑΒΓΔ\) είναι ισοσκελές τραπέζιο οπότε ισχύει ότι \(ΒΓ = ΑΔ\).
Οπότε προκύπτει ότι \(ΜΕ = ΜΖ\).
β) Είναι \(ΜΖ // ΑΔ\) και \(ΑΔ⊥ ΑΓ\) άρα είναι και \(ΜΖ⊥ΑΓ\).
γ) Τα τρίγωνα \(ΜΔΕ\) και \(ΜΖΓ\) έχουν:
- \(ΜΕ =ΜΖ\), από το ερώτημα (α)
- \(ΜΔ = ΜΓ\), διότι \(Μ\) μέσο του \(ΓΔ\)
- \(ΔΕ = \dfrac{ΔΒ}{2}=\dfrac{ΑΓ}{2} = ΖΓ\), διότι οι \(ΑΓ\), \(ΒΔ\) είναι διαγώνιες του ισοσκελούς τραπεζίου.
Τα τρίγωνα \(ΜΔΕ\) και \(ΜΖΓ\) έχουν τις τρεις πλευρές τους μία προς μία ίσες άρα είναι ίσα.
δ) Επειδή τα τρίγωνα \(ΜΔΕ\) και \(ΜΖΓ\) είναι ίσα έχουν και
\(\hat{OΔΓ}= \hat{OΓΔ}\) διότι είναι απέναντι από τις ίσες πλευρές \(ΜΕ\), \(ΜΖ\) αντίστοιχα.
Άρα το τρίγωνο \(ΟΔΓ\) είναι ισοσκελές και ισχύει \(ΟΔ = ΟΓ\). Τότε:
\(ΟΔ = ΟΓ\) ή \(ΟΕ + ΕΔ = ΟΖ + ΖΓ\) ή \(ΟΕ = ΟΖ\)
Επίσης ισχύει \(ΜΕ=ΜΖ\), λόγω του ερωτήματος (α).
Επειδή είναι \(ΟΕ = ΟΖ\) και \(ΜΕ = ΜΖ\) οπότε η \(ΟΜ\) είναι μεσοκάθετος του \(ΕΖ\).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).