Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 37141 | Ύλη: | 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 5.4. Ρόμβος |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 37141 |
| Ύλη: | 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 5.4. Ρόμβος |
| Τελευταία Ενημέρωση: 09-Μαΐ-2026 | |
ΘΕΜΑ 4
Δίνεται τρίγωνο \(ΑΒΓ\) με \(ΑΒ<ΑΓ\). Φέρνουμε τμήμα \(ΒΔ\) κάθετο στην \(ΑΒ\) με \(ΒΔ=ΑΓ\) και τμήμα \(ΓΕ\) κάθετο στην \(ΑΓ\) με \(ΓΕ=ΑΒ\) . Θεωρούμε τα μέσα \(Ζ\) και \(Θ\) των \(ΑΔ\) και \(ΑΕ\) καθώς και τη διχοτόμο \(Αδ\) της γωνίας \(Δ\hat{A}Ε\).
α) Να αποδείξετε ότι \(ΑΔ=ΑΕ\).
(Μονάδες 9)
β) Αν \(Κ\) τυχαίο σημείο της διχοτόμου \(Αδ\), να αποδείξετε ότι ισαπέχει από τα μέσα \(Ζ\) και \(Θ\).
(Μονάδες 9)
γ) Αν το \(Κ\) είναι σημείο της διχοτόμου \(Αδ\) τέτοιο ώστε \(ΚΖ=ΑΖ\), να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο \(ΑΖΚΘ\) είναι ρόμβος.
(Μονάδες 7)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Τα ορθογώνια τρίγωνα \(ΑΒΔ\) και \(ΑΓΕ\) έχουν:
\(ΓΕ = ΑΒ\), από υπόθεση
\(ΒΔ = ΑΓ\), από υπόθεση
Άρα τα τρίγωνα \(ΑΒΔ\) και \(ΑΓΕ\) έχουν δύο κάθετες πλευρές τους ίσες μία προς μία οπότε είναι ίσα και ισχύει ότι \(ΑΔ = ΑΕ\) ως υποτείνουσες των ίσων ορθογωνίων τριγώνων \(ΑΒΔ\) και \(ΑΓΕ\).
β) Τα τρίγωνα \(ΑΖΚ\) και \(ΑΘΚ\) έχουν:
\(ΑΖ = ΑΘ\), ως μισά των ίσων πλευρών \(ΑΔ\) και \(ΑΕ\)
\(ΑΚ\) κοινή πλευρά
\(\hat{ΖΑΚ}=\hat{ΚΑΘ}\) , διότι \(Αδ\) διχοτόμος της \(\hat{ΔΑΕ}\)
Τα τρίγωνα \(ΑΖΚ\) και \(ΑΘΚ\) έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες γωνίες τους ίσες άρα είναι ίσα, οπότε έχουν και \(ΚΖ = ΚΘ\). Δηλαδή το \(Κ\) ισαπέχει από τα μέσα \(Ζ\) και \(Θ\).
γ)
Από το β) ερώτημα έχουμε ότι \(ΚΖ = ΚΘ\) (1).
Από υπόθεση είναι \(ΚΖ = ΑΖ\) (2).
Επίσης \(ΑΖ = ΑΘ\) (3) ως μισά των ίσων πλευρών \(ΑΔ\) και \(ΑΕ\) (από α) ερώτημα).
Από τις (1), (2), (3) βρίσκουμε \(ΚΖ = ΚΘ = ΑΖ = ΑΘ\).
Δηλαδή το τετράπλευρο \(ΑΖΚΘ\) έχει όλες τις πλευρές του ίσες, οπότε είναι ρόμβος.
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).