Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 37156 | Ύλη: | 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 37156 |
| Ύλη: | 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου |
| Τελευταία Ενημέρωση: 12-Μαΐ-2026 | |
ΘΕΜΑ 4
Έστω ισοσκελές τρίγωνο \(ΒΑΓ\) με \(\widehat{Α} = 120^{\circ}\). Φέρουμε ημιευθεία \(Αx\) κάθετη στην \(ΑΓ\) στο \(Α\), η οποία τέμνει τη \(ΒΓ\) στο \(Δ\). Έστω \(Λ\) το μέσο του \(ΑΒ\) και \(Κ\) το μέσο του \(ΔΓ\).
Να αποδείξετε ότι:
α) Το τρίγωνο \(ΑΔΒ\) είναι ισοσκελές.
(Μονάδες 8)
β) \(ΔΓ = 2·ΒΔ\).
(Μονάδες 8)
γ) \(ΛΔ \parallel ΑΚ\).
(Μονάδες 5)
δ) \(ΑΚ = 2·ΛΔ\).
(Μονάδες 4)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Επειδή το τρίγωνο \(ΑΒΓ\) είναι ισοσκελές ισχύει ότι \(\widehat{Β} = \widehat{Γ}\).
Για τις γωνίες του τριγώνου \(ΑΒΓ\) ισχύει ότι \(\widehat{Α} + \widehat{Β} + \widehat{Γ} = 180^{\circ}\) και επειδή \(\widehat{Α} = 120^{\circ}\) από την υπόθεση, θα έχουμε ότι \(120^{\circ} + 2\widehat{Β} = 180^{\circ}\), άρα \(\widehat{Β} = 30^{\circ} = \widehat{Γ}\).
Είναι: \(\widehat{Α} = 120^{\circ}\) ή \(\widehat{ΒΑΔ} + 90^{\circ} = 120^{\circ}\), άρα \(\widehat{ΒΑΔ} = 30^{\circ}\).
Άρα \(\widehat{ΒΑΔ} = \widehat{Β}\) οπότε το τρίγωνο \(ΑΔΒ\) είναι ισοσκελές με \(ΑΔ = ΒΔ\) \((1)\).
β) Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΔΓ\) είναι \(\widehat{Γ} = 30^{\circ}\), άρα η απέναντι κάθετη πλευρά ισούται με το μισό της υποτείνουσας, δηλαδή:
\(ΑΔ = \frac{ΔΓ}{2}\)
και επειδή \(ΑΔ = ΒΔ\) (από σχέση \((1)\)) θα είναι \(ΒΔ = \frac{ΔΓ}{2}\) άρα \(ΔΓ = 2ΒΔ\).
γ) Είναι: \(ΔΓ = 2ΒΔ\) (από β) ερώτημα) και \(Κ\) μέσο \(ΔΓ\) (από υπόθεση) άρα \(ΔΓ = 2ΔΚ\), οπότε \(ΔΚ = ΒΔ\). Άρα το \(Δ\) είναι μέσο της \(ΒΚ\).
Στο \(ΑΒΚ\), το \(ΛΔ\) ενώνει τα μέσα των \(ΑΒ\) και \(ΒΚ\) οπότε \(ΛΔ \parallel ΑΚ\).
δ) Το \(ΛΔ\) ενώνει τα μέσα των πλευρών \(ΑΒ\) και \(ΒΚ\) στο τρίγωνο \(ΑΒΓ\) άρα \(ΛΔ = \frac{ΑΚ}{2}\) ή \(ΑΚ = 2ΛΔ\).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).