Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 37159 | Ύλη: | 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 37159 |
| Ύλη: | 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα |
| Τελευταία Ενημέρωση: 12-Μαΐ-2026 | |
ΘΕΜΑ 4
Έστω τρίγωνο \(ΑΒΓ\) (\(ΑΒ > ΑΓ\)), \(ΑΔ\) το ύψος του και \(Μ\) το μέσο του \(ΑΒ\). Η προέκταση της \(ΜΔ\) τέμνει την προέκταση της \(ΑΓ\) στο σημείο \(Ε\) ώστε \(ΓΔ = ΓΕ\).
Να αποδείξετε ότι:
α) \(\widehat{Β} = \widehat{Ε}\).
(Μονάδες 8)
β) \(\widehat{Γ} = 2 \cdot \widehat{Β} = \widehat{ΑΜΔ}\).
(Μονάδες 10)
γ) \(ΓΕ < ΑΓ\).
(Μονάδες 7)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΔΒ\) η \(ΔΜ\) είναι διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα, άρα \(ΔΜ = \frac{ΑΒ}{2} = ΜΒ\).
Συνεπώς το τρίγωνο \(ΔΜΒ\) είναι ισοσκελές και ισχύει \(\widehat{ΜΔΒ} = \widehat{Β}\) \((1)\).
Είναι \(ΓΔ = ΓΕ\), οπότε το τρίγωνο \(ΓΔΕ\) είναι ισοσκελές. Άρα \(\widehat{Ε} = \widehat{ΓΔΕ}\) \((2)\).
Επειδή \(\widehat{ΜΔΒ} = \widehat{ΓΔΕ}\) ως κατακορυφήν, από τις σχέσεις \((1)\), \((2)\) προκύπτει ότι \(\widehat{Β} = \widehat{Ε}\).
β) Η γωνία \(\widehat{Γ}\) είναι εξωτερική στο τρίγωνο \(ΓΔΕ\), οπότε \(\widehat{Γ} = \widehat{Ε} + \widehat{ΓΔΕ} = \widehat{Ε} + \widehat{Ε} = 2\widehat{Ε} = 2\widehat{Β}\) \((3)\).
Η γωνία \(\widehat{ΑΜΔ}\) είναι εξωτερική στο τρίγωνο \(ΜΔΒ\), άρα \(\widehat{ΑΜΔ} = \widehat{ΜΔΒ} + \widehat{Β} = \widehat{Β} + \widehat{Β} = 2\widehat{Β}\) \((4)\).
Από τις \((3)\), \((4)\) προκύπτει: \(\widehat{Γ} = 2\widehat{Β} = \widehat{ΑΜΔ}\).
γ) Η \(ΑΓ\) είναι υποτείνουσα στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΔΓ\), άρα είναι η μεγαλύτερη πλευρά του. Άρα \(ΑΓ > ΓΔ\) και επειδή \(ΓΔ = ΓΕ\) θα είναι \(ΑΓ > ΓΕ\).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).