Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 37161 | Ύλη: | 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.4. 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.10. Τραπέζιο 5.11. Ισοσκελές τραπέζιο |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 37161 |
| Ύλη: | 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.4. 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.6. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου 5.10. Τραπέζιο 5.11. Ισοσκελές τραπέζιο |
| Τελευταία Ενημέρωση: 12-Μαΐ-2026 | |
ΘΕΜΑ 4
Έστω ισοσκελές τρίγωνο \(ΑΒΓ\) (\(ΑΒ = ΑΓ\)) και \(ΑΔ\) διάμεσος. Στο τμήμα \(ΑΔ\) θεωρούμε τυχαίο σημείο \(Κ\) από το οποίο φέρνουμε τα τμήματα \(ΚΖ\) και ΚΕ κάθετα στις \(ΑΒ\) και \(ΑΓ\) αντίστοιχα.
α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα \(ΚΒΓ\) και \(ΚΖΕ\) είναι ισοσκελή.
(Μονάδες 8)
β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο \(ΖΕΓΒ\) είναι ισοσκελές τραπέζιο.
(Μονάδες 10)
γ) Ένας μαθητής στην πορεία της λύσης του έδωσε το εξής επιχείρημα:
«Το τμήμα \(ΑΔ\) είναι διάμεσος στη βάση ισοσκελούς άρα ύψος και διχοτόμος του τριγώνου \(ΑΒΓ\) και μεσοκάθετος του \(ΒΓ\). Οπότε και το τρίγωνο \(ΒΚΓ\) είναι ισοσκελές.
Τα τρίγωνα \(ΑΒΚ\), \(ΑΓΚ\) έχουν:
- \(ΒΚ = ΚΓ\)
- \(\widehat{ΒΑΚ} = \widehat{ΓΑΚ}\) επειδή \(ΑΚ\) διχοτόμος της \(\widehat{Α}\).
- \(\widehat{ΑΒΚ} = \widehat{ΑΓΚ}\) ως διαφορές ίσων γωνιών ισοσκελών τριγώνων.
Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα βάσει του κριτηρίου Γωνία Πλευρά Γωνία.»
Ο καθηγητής είπε ότι η απάντησή του είναι ελλιπής. Να συμπληρώσετε την απάντηση του μαθητή ώστε να ικανοποιεί το κριτήριο Γωνία–Πλευρά–Γωνία διατηρώντας τις πλευρές \(ΒΚ\) και \(ΚΓ\).
(Μονάδες 7)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Η \(ΑΔ\) είναι διάμεσος ισοσκελούς τριγώνου που αντιστοιχεί στη βάση \(ΒΓ\), άρα είναι και διχοτόμος και ύψος, άρα η \(ΑΔ\) είναι μεσοκάθετος στο τμήμα \(ΒΓ\). Επειδή το \(Κ\) ανήκει στη μεσοκάθετο \(ΑΔ\) του \(ΒΓ\) θα ισαπέχει από τα άκρα του \(Β\), \(Γ\), δηλαδή \(ΚΒ = ΚΓ\), οπότε το τρίγωνο \(ΚΒΓ\) είναι ισοσκελές.
Επειδή το \(Κ\) ανήκει στη διχοτόμο της γωνίας \(\widehat{Α}\), ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας \(\widehat{Α}\). Άρα \(ΖΚ = ΚΕ\), οπότε το τρίγωνο \(ΖΚΕ\) είναι ισοσκελές.
β) Τα τρίγωνα \(ΒΖΚ\) και \(ΚΕΓ\) είναι ορθογώνια και έχουν:
- \(ΖΚ = ΚΕ\), από το ερώτημα (α)
- \(ΚΒ = ΚΓ\), από το ερώτημα (α)
Άρα τα ορθογώνια τρίγωνα \(ΒΖΚ\) και \(ΚΕΓ\) έχουν τις υποτείνουσες και από μία κάθετη πλευρά ίσες μία προς μία, άρα είναι ίσα. Οπότε ισχύει \(ΒΖ = ΓΕ\).
Αφού \(ΑΒ = ΑΓ\) και \(ΒΖ = ΓΕ\), τότε θα είναι \(ΑΖ = ΑΒ\) − \(ΒΖ = ΑΓ\) − \(ΓΕ = ΑΕ\).
Επομένως το τρίγωνο \(ΑΖΕ\) είναι ισοσκελές και έχει \(\widehat{ΑΖΕ} = \widehat{ΑΕΖ}\) \((1)\).
Από το άθροισμα των γωνιών του ισοσκελούς τριγώνου \(ΑΖΕ\), έχουμε:
\(\widehat{ΑΖΕ} + \widehat{ΑΕΖ} + \widehat{Α} = 180^{\circ} \text{ ή } 2\widehat{ΑΖΕ} = 180^{\circ} - \widehat{Α} \text{ ή } \widehat{ΑΖΕ} = \frac{1}{2}(180^{\circ} - \widehat{Α})\)
Ομοίως, από το άθροισμα των γωνιών του ισοσκελούς τριγώνου \(ΑΒΓ\) με \(\widehat{Β} = \widehat{Γ}\), έχουμε:
\(\widehat{Β} + \widehat{Γ} + \widehat{Α} = 180^{\circ} \text{ ή } 2\widehat{Β} = 180^{\circ} - \widehat{Α} \text{ ή } \widehat{Β} = \frac{1}{2}(180^{\circ} - \widehat{Α}).\)
Οπότε \(\widehat{ΑΖΕ} = \widehat{Β}\) και επειδή οι γωνίες αυτές είναι εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των \(ΖΕ\), \(ΒΓ\) που τέμνονται από την \(ΑΒ\), συμπεραίνουμε ότι \(ΖΕ \parallel ΒΓ\). Και αφού οι \(ΒΖ\) και \(ΓΕ\) δεν είναι παράλληλες, επειδή τέμνονται στο σημείο \(Α\), το \(ΒΖΕΓ\) είναι τραπέζιο.
Επιπλέον ισχύει \(ΒΖ = ΓΕ\) άρα το \(ΒΖΕΓ\) είναι ισοσκελές τραπέζιο.
γ) Η απάντηση είναι ελλιπής διότι ο μαθητής έλαβε υπόψη του γωνίες που δεν είναι προσκείμενες σε κάθε πλευρά. Έπρεπε να αναφέρει ότι αφού τα δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες, θα έχουν και τις τρίτες τους γωνίες ίσες, δηλαδή \(\widehat{ΑΚΒ} = \widehat{ΑΚΓ}\). Οπότε τα τρίγωνα είναι ίσα γιατί θα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία (κριτήριο ΓΠΓ).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).