Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 37162 | Ύλη: | 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου 5.10. Τραπέζιο 5.11. Ισοσκελές τραπέζιο |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 37162 |
| Ύλη: | 3.2. 1ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 5.6. Εφαρμογές στα τρίγωνα 5.9. Μια ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου 5.10. Τραπέζιο 5.11. Ισοσκελές τραπέζιο |
| Τελευταία Ενημέρωση: 12-Μαΐ-2026 | |
ΘΕΜΑ 4
Δίνεται τρίγωνο \(ΑΒΓ\) με \(ΑΒ < ΑΓ\) και το ύψος του \(ΑΗ\). Αν \(Δ\), \(Ε\) και \(Ζ\) είναι τα μέσα των \(ΑΒ\), \(ΑΓ\) και \(ΒΓ\) αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:
α) Το τετράπλευρο \(ΔΕΖΗ\) είναι ισοσκελές τραπέζιο.
(Μονάδες 8)
β) Οι γωνίες \(\widehat{ΗΔΖ}\) και \(\widehat{ΗΕΖ}\) είναι ίσες.
(Μονάδες 8)
γ) Οι γωνίες \(\widehat{ΕΔΖ}\) και \(\widehat{ΕΗΖ}\) είναι ίσες.
(Μονάδες 9)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
Έστω τρίγωνο \(ΑΒΓ\) με \(ΑΒ < ΑΓ\), \(ΑΗ\) ύψος και \(Δ\), \(Ε\), \(Ζ\) τα μέσα των \(ΑΒ\), \(ΑΓ\), \(ΒΓ\) αντίστοιχα.
α) Το \(ΔΕ\) ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου \(ΑΒΓ\), οπότε ισχύει ότι: \(ΔΕ \parallel ΒΓ\) άρα και \(ΔΕ \parallel ΗΖ\).
Το \(ΕΖ\) ενώνει τα μέσα δύο πλευρών στο τρίγωνο \(ΑΒΓ\), άρα ισχύει ότι:
\(ΕΖ \parallel ΑΒ \text{ και } ΕΖ = \frac{ΑΒ}{2} \ \ \ (1)\)
Αφού \(ΕΖ \parallel ΑΒ\) και η \(ΔΗ\) τέμνει την \(ΑΒ\), θα τέμνει και την παράλληλή της \(ΕΖ\). Οπότε το τετράπλευρο \(ΔΕΖΗ\) έχει μόνο δύο πλευρές παράλληλες, άρα είναι τραπέζιο.
Στο ορθογώνιο τρίγωνο \(ΑΗΒ\) η \(ΗΔ\) είναι διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα, άρα:
\(ΗΔ = \frac{ΑΒ}{2} \ \ (2)\)
Από τις σχέσεις \((1)\), \((2)\) προκύπτει ότι \(ΕΖ = ΗΔ\) \((3)\). Επομένως το τραπέζιο \(ΔΕΖΗ\) είναι ισοσκελές.
β) Τα τρίγωνα \(ΗΔΖ\) και \(ΗΕΖ\) έχουν:
- \(ΕΖ = ΗΔ\), λόγω της \((3)\)
- \(ΗΖ\) κοινή πλευρά
- \(\widehat{ΔΗΖ} = \widehat{ΕΖΗ}\), ως γωνίες βάσης του ισοσκελούς τραπεζίου
Τα τρίγωνα \(ΗΔΖ\) και \(ΗΕΖ\) έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες γωνίες ίσες, άρα είναι ίσα και έχουν \(\widehat{ΗΔΖ} = \widehat{ΗΕΖ}\) ως γωνίες που βρίσκονται απέναντι από την κοινή τους πλευρά \(ΗΖ\).
γ) Είναι \(\widehat{ΕΔΖ} = \widehat{ΔΖΗ}\) \((4)\) ως γωνίες εντός εναλλάξ των παραλλήλων \(ΔΕ\), \(ΒΓ\) που τέμνονται από την \(ΔΖ\).
Επίσης, \(\widehat{ΔΖΗ} = \widehat{ΕΗΖ}\) \((5)\) ως απέναντι γωνίες των ίσων πλευρών \(ΔΗ\), \(ΕΖ\) αντίστοιχα των ίσων τριγώνων \(ΗΔΖ\) και \(ΗΕΖ\) από το β) ερώτημα.
Από \((4)\), \((5)\) προκύπτει ότι \(\widehat{ΕΔΖ} = \widehat{ΕΗΖ}\).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).