Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Γεωμετρία | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 37164 | Ύλη: | 3.4. 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών 3.12. Τριγωνική ανισότητα 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 4.4. Γωνίες με πλευρές παράλληλες 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Γεωμετρία |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 37164 |
| Ύλη: | 3.4. 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων 3.11. Ανισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών 3.12. Τριγωνική ανισότητα 4.2. Τέμνουσα δύο ευθειών - Ευκλείδειο αίτημα 4.4. Γωνίες με πλευρές παράλληλες 4.6. Άθροισμα γωνιών τριγώνου |
| Τελευταία Ενημέρωση: 12-Μαΐ-2026 | |
ΘΕΜΑ 4
Έστω ισοσκελές τρίγωνο \(ΑΒΓ\) (\(ΑΒ = ΑΓ\)) και \(Μ\) το μέσο της \(ΒΓ\). Φέρουμε \(ΓΔ\perp ΒΓ\) με \(ΓΔ=ΑΒ\) (\(Α,Δ\) εκατέρωθεν της \(ΒΓ\)).
Να αποδείξετε ότι:
α) \(ΑΜ // ΓΔ\).
(Μονάδες 6)
β) η \(ΑΔ\) είναι διχοτόμος της γωνίας \(\widehat{ΜΑΓ}\).
(Μονάδες 7)
γ) \(\widehat{ΔΑΓ} = 45^o - \frac{\widehat{Β}}{2}\).
(Μονάδες 7)
δ) \(ΑΔ < 2 ΑΒ\).
(Μονάδες 5)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Η \(ΑΜ\) διάμεσος του ισοσκελούς τριγώνου \(ΑΒΓ\) που αντιστοιχεί στη βάση του \(ΒΓ\), οπότε θα είναι και ύψος και διχοτόμος του τριγώνου.
Επειδή \(ΑΜ\perp ΒΓ\) και \(ΓΔ\perp ΒΓ\) προκύπτει ότι \(ΑΜ//ΓΔ\).
β) Ισχύει ότι \(ΑΒ = ΓΔ\) και \(ΑΒ = ΑΓ\) οπότε \(ΑΓ = ΓΔ\). Άρα το τρίγωνο \(ΑΓΔ\) είναι ισοσκελές με βάση την \(ΑΔ\), οπότε \(\widehat{ΓΑΔ} = \widehat{Δ}\).
Ισχύει επίσης ότι \(\widehat{ΜΑΔ} = \widehat{Δ}\) ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων \(ΑΜ, ΓΔ\) που τέμνονται από την \(ΑΔ\). Άρα \(\widehat{ΜΑΔ} = \widehat{ΓΑΔ}\), επομένως η \(ΑΔ\) είναι διχοτόμος της γωνίας \(\widehat{ΜΑΓ}\).
γ) Ισχύει ότι:
$$\widehat{ΓΑΔ} = \frac{\widehat{ΜΑΓ}}{2} = \frac{\frac{\widehat{ΒΑΓ}}{2}}{2} = \frac{\widehat{ΒΑΓ}}{4} \quad (1)$$
Από το άθροισμα γωνιών του ισοσκελούς τριγώνου \(ΑΒΓ\) (\(ΑΒ=ΑΓ\)) βρίσκουμε:
$$\widehat{ΒΑΓ} + \widehat{Β} + \widehat{Γ} = 180^o \text{ ή } \widehat{ΒΑΓ} + 2\widehat{Β} = 180^o \text{ ή } \widehat{ΒΑΓ} = 180^o - 2\widehat{Β}$$
Τότε η \((1)\) γράφεται:
$$\widehat{ΓΑΔ} = \frac{180^o - 2\widehat{Β}}{4} = 45^o - \frac{\widehat{Β}}{2}$$
δ) Από τη τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο \(ΑΓΔ\), έχουμε:
$$ΑΔ < ΑΓ + ΓΔ \text{ ή } ΑΔ < ΑΒ + ΑΒ \text{ ή } ΑΔ < 2ΑΒ.$$
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).