Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	37171	Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	2
Κωδικός Θέματος:	37171
Ύλη:	2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 19-Μαΐ-2023

ΘΕΜΑ 2

Αν $α$, $β$ πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν:

$$α+β=2\ \ \text{και}\ \ α^{2}β+αβ^{2}=−30$$

α) Να αποδείξετε ότι: $α\cdot β=−15$.
(Μονάδες 10)

β) Να κατασκευάσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς $α$, $β$ και να τους βρείτε.
(Μονάδες 15)

Απάντηση Θέματος:

Λύση

α) Είναι:

$$ α^{2}β+αβ^{2}=−30 $$ $$\Leftrightarrow αβ(α+β)=−30 $$ $$\Leftrightarrow αβ\cdot 2=−30 $$ $$\Leftrightarrow αβ=−15 $$

β) Η ζητούμενη εξίσωση μπορεί να είναι της μορφής:

$$x^{2}−Sx+P=0$$

με:

$$S=α+β=2\ \ \text{και}\ \ P=αβ=−15$$

Τελικά, μία ζητούμενη εξίσωση είναι η:

$$x^{2}−2x−15=0$$

Το τριώνυμο $x^{2}−2x−15$ έχει διακρίνουσα:

$$Δ=β^{2}−4αγ$$ $$=(−2)^{2}−4\cdot 1\cdot (−15)$$ $$=4+60=64 > 0$$

Οι ρίζες της εξίσωσης είναι:

$$x_{\text{1,2}}=\dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2a}$$ $$=\dfrac{-(-2)\pm \sqrt{64}}{2\cdot 1}$$ $$=\dfrac{2\pm 8}{2}=5\ \ \text{ή}\ \ -3$$

Άρα είναι $α=5$ και $β=−3$ ή $α=−3$ και $β=5$.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).