Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 37179 | Ύλη: | 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 37179 |
| Ύλη: | 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών |
| Τελευταία Ενημέρωση: 15-Μαΐ-2023 | |
ΘΕΜΑ 2
Δίνονται οι παραστάσεις: \(K=2a^{2}+β^{2}\) και \(Λ=2αβ\), όπου \(α,\ β \in \mathbb{R}\).
α) Να αποδείξετε ότι: \(Κ\ge Λ,\) για κάθε τιμή των \(α,β\).
(Μονάδες 12)
β) Για ποιες τιμές των \(α,\ β\) ισχύει η ισότητα \(Κ=Λ;\)
(Μονάδες 13)
Απάντηση Θέματος:
α) Ισχύουν:
$$\begin{align} & Κ\ge Λ \\ \Leftrightarrow & Κ−Λ\ge 0 \\ \Leftrightarrow & 2α^{2}+β^{2}−2αβ\ge 0 \\ \Leftrightarrow & α^{2}+α^{2}+β^{2}−2αβ\ge 0 \\ \Leftrightarrow & α^{2}+(α−β)^{2}\ge 0 \end{align}$$
η οποία ισχύει για κάθε \(α,\ β\in \mathbb{R}\).
Άρα \(Κ\ge Λ,\) για κάθε τιμή των \(α,\ β\).
β) Εκτελώντας τις πράξεις όπως στο (α) ερώτημα έχουμε ότι:
$$\begin{align} & Κ=Λ \\ \Leftrightarrow & α^{2}+(α−β)^{2}=0\\ \Leftrightarrow & α^{2}=0 \text{ και } (α−β)^{2}=0\\ \Leftrightarrow & α=0 \text{ και } α=β\end{align}$$
Οπότε \(Κ=Λ\) αν και μόνο αν \(α=β=0\).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).