Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 3 |
| Κωδικός Θέματος: | 37190 | Ύλη: | 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 3 |
| Κωδικός Θέματος: | 37190 |
| Ύλη: | 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης |
| Τελευταία Ενημέρωση: 13-Νοε-2023 | |
ΘΕΜΑ 3
α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση: \(A=x^{3}-x^{2}+3x-3\).
(Μονάδες 13)
β) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων \(f(x)=\dfrac{3}{x}\) και \(g(x)=x^{2}-x+3\) έχουν ένα μόνο κοινό σημείο, το \(Α(1,3)\).
(Μονάδες 12)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Είναι:
$$A=x^{3}-x^{2}+3x-3$$ $$= x^{2}(x-1)+3(x-1)$$ $$= (x-1)(x^{2}+3)$$
β) Η συνάρτηση \(f\) έχει πεδίο ορισμού το σύνολο \(Α=\mathbb{R}^{*}=\mathbb{R}-\{0\}\) και η συνάρτηση \(g\) το σύνολο \(Β=\mathbb{R}\).
Τα σημεία τομής τους προκύπτουν από τη λύση του συστήματος:
$$\begin{cases} y = f (x) \\ y = g(x) \end{cases}$$
Έχουμε:
$$f(x)=g(x) $$ $$\Leftrightarrow \dfrac{3}{x}=x^{2}-x+3 $$ $$\Leftrightarrow 3=x(x^{2}-x+3) $$ $$\Leftrightarrow 3=x^{3}-x^{2}+3x $$ $$\Leftrightarrow x^{3}-x^{2}+3x-3=0$$ $$\overset{(a)}{ \Leftrightarrow } \\ (x-1)(x^{2}+3)=0 $$ $$\Leftrightarrow x-1=0\ \text{ή}\ x^{2}+3=0\ \text{αδύνατη}$$ $$\Leftrightarrow x=1$$
Για \(x=1\) είναι \(f(1)=3\).
Άρα το σημείο τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων \(f\), \(g\) είναι το \(Α(1,3)\).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).