Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 37201 | Ύλη: | 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 2 |
| Κωδικός Θέματος: | 37201 |
| Ύλη: | 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού |
| Τελευταία Ενημέρωση: 15-Μαΐ-2023 | |
ΘΕΜΑ 2
Δίνεται η παράσταση \(A=|x-1|+|y-3|\) με \(x, y\) πραγματικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει: \(1<x<4\) και \(2<y<3\).
Να αποδείξετε ότι:
α) \(A=x-y+2\).
(Μονάδες 12)
β) \(0<A<4\).
(Μονάδες 13)
Απάντηση Θέματος:
α) Είναι:
$$1\lt x\lt 4$$ $$\Leftrightarrow 1\lt x \text{ και } x\lt 4$$ $$\Leftrightarrow x-1>0 \text{ και } x-4 \lt 0$$
Άρα \(|x-1|=x-1\).
Ισχύει ακόμα:
$$2\lt y\lt 3$$ $$\Leftrightarrow 2\lt y \text{ και } y\lt 3$$ $$\Leftrightarrow y-2>0 \text{ και } y-3\lt 0$$
Άρα \(|y-3|=-(y-3)=3-y\).
Τότε:
$$\begin{align} A & = |x-1|+|y-3|\\ & = x-1+3-y\\ &= x-y+2\end{align}$$
β) Είναι \(1\lt x\lt 4\ \ \ \ (1)\) και:
$$2\lt y\lt 3$$ $$\Leftrightarrow -2>-y>-3$$ $$\Leftrightarrow -3\lt -y\lt -2$$ $$\Leftrightarrow -3+2\lt -y+2\lt -2+2$$ $$\Leftrightarrow -1\lt -y+2\lt 0 \ \ \ \ (2)$$
Προσθέτουμε κατά μέλη τις ανισότητες \((1), (2)\) και βρίσκουμε:
$$1-1\lt x-y+2\lt 4+0$$ $$\Leftrightarrow 0\lt x-y+2\lt 4$$
Άρα \(0\lt A\lt 4\).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).