Τράπεζα Θεμάτων

ΛΥΣΗ

α) Από το γράφημα συμπεραίνουμε ότι το κοινό σημείο των δύο ευθειών είναι κατ’ εκτίμηση το \(Α(100, 500)\).

Η ερμηνεία του είναι η εξής:

Αν η εταιρεία πουλήσει \(100\) λίτρα λάδι, τα έσοδα και τα έξοδα είναι \(500\) ευρώ, δηλαδή δεν έχει ούτε κέρδος ούτε ζημιά.

β) Τα πάγια έξοδα της εταιρείας είναι \(200\) ευρώ, διότι \(K(0)=200\). Δηλαδή ακόμα και αν δεν παραχθεί λάδι \((x=0)\), υπάρχουν έξοδα.

γ) Για να μην έχει η εταιρεία ζημιά πρέπει τα έσοδα να είναι ίσα με τα έξοδα ή μεγαλύτερα από αυτά. Από το γράφημα συμπεραίνουμε ότι αυτό συμβαίνει για παραγωγή \(x\ge 100\) λίτρων λαδιού.

δ) Έστω \(y=ax\) η ζητούμενη εξίσωση της ευθείας \((ε)\) που περιγράφει η συνάρτηση εσόδων \(E(x)\) Η ευθεία αυτή διέρχεται από το σημείο \(Α(100,500)\), οπότε:

$$1000=200α $$ $$\Leftrightarrow α=5$$

Τελικά η ευθεία \((ε)\) έχει εξίσωση;

$$y=5x$$

Επομένως η συνάρτηση των εσόδων είναι \(E(x)=5x\), \(x\ge 0\).

Έστω \(y=α_{1}x+β_{1}\) η ζητούμενη εξίσωση της ευθείας \((ε_{1})\) που περιγράφει η συνάρτηση εξόδων \(Κ(x)\). Η ευθεία \((ε_{1})\) διέρχεται από τα σημεία \(Β(0,200)\) και \(Γ(200,800)\), οπότε έχει συντελεστή διεύθυνσης τον:

$$α_{1}=\dfrac{800-200}{200-0}=\dfrac{600}{200}=3$$

Τότε η ευθεία \((ε_{1})\) γράφεται:

$$y=3x+β_{1}$$

Επειδή η ευθεία \((ε_{1})\) διέρχεται από το σημείο \(Β(0,200)\), οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση της. Οπότε:

$$200=0+β_{1} $$ $$\Leftrightarrow β_{1}=200$$

Τελικά η εξίσωση \((ε_{1})\) έχει εξίσωση \(y=3x+200\) και η συνάρτηση των εξόδων είναι:

$$K(x)=3x+200,\ \ x\ge 0$$

Για να μην έχει ζημιά η εταιρεία πρέπει:

$$E(x)\ge K(x) $$ $$\Leftrightarrow 5x\ge 3x+200 $$ $$\Leftrightarrow 2x\ge 200 $$ $$\Leftrightarrow x\ge 100$$

Επομένως η εκτίμηση που κάναμε στο ερώτημα γ) ήταν σωστή.