Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Β' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 37475 | Ύλη: | 3.4 Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις 4.2 Διαίρεση πολυωνύμων 4.3 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Β' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 37475 |
| Ύλη: | 3.4 Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις 4.2 Διαίρεση πολυωνύμων 4.3 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις |
| Τελευταία Ενημέρωση: 07-Μαΐ-2026 | |
ΘΕΜΑ 4
Δίνεται το πολυώνυμο \(P(x)=2x^{3}-x^{2}-2x+1\). Να αποδείξετε ότι:
α) το \(P(x)\) έχει παράγοντα το \(x-1\) και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης \(P(x):(x-1)\).
Μονάδες 6
β) \(P(x)< 0\) για κάθε \(x\in (-\infty ,-1)\cup (\dfrac{1}{2},1)\).
Μονάδες 7
γ) \(\dfrac{1}{2}<συνθ< 1\) για κάθε γωνία \(θ\in (0,\dfrac{π}{3})\).
Μονάδες 6
δ) \(P(συνθ)< 0\) για κάθε γωνία \(θ\in (0,\dfrac{π}{3})\).
Μονάδες 6
Απάντηση Θέματος:
α) Είναι \(P(1)=2\cdot1^3-1^2-2\cdot1+1=2-1-2+1=0\) που σημαίνει ότι το \(P(x)\) έχει παράγοντα το \(x-1\). Το σχήμα Horner για τη διαίρεση \(P(x):(x-1)\) φαίνεται παρακάτω:
Συνεπώς \(P(x)=(x-1)(2x^2+x-1)\).
β) Το πρόσημο του \(P(x)=(x-1)(2x^2+x-1)\) φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:
Συνεπώς \(P(x)<0\) για κάθε \(x\in(-\infty,-1)\cup\left(\frac{1}{2},1\right)\).
γ) Είναι \(0<\theta<\frac{\pi}{3}\) και επειδή η συνάρτηση \(\text{συν}x\) είναι γνησίως φθίνουσα στο \(\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\), έχουμε ότι
\begin{align}&\text{συν}0>\text{συν}\theta>\text{συν}\frac{\pi}{3}\Rightarrow\\ &1>\text{συν}\theta>\frac{1}{2}\end{align}
δ) Αφού \(P(x)<0\) για κάθε \(x\in(-\infty,-1)\cup\left(\frac{1}{2},1\right)\) και \(\frac{1}{2}<\text{συν}\theta<1\) συμπεραίνουμε ότι \(P(\text{συν}\theta)<0\).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).