Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Β' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 37476 | Ύλη: | 4.2 Διαίρεση πολυωνύμων 4.3 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις 5.2 Λογάριθμοι 5.3 Λογαριθμική συνάρτηση |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Β' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 37476 |
| Ύλη: | 4.2 Διαίρεση πολυωνύμων 4.3 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις 5.2 Λογάριθμοι 5.3 Λογαριθμική συνάρτηση |
| Τελευταία Ενημέρωση: 10-Οκτ-2024 | |
ΘΕΜΑ 4
Δίνεται το πολυώνυμο \(P(x)=x^{3}-2x^{2}-x+2\). Να αποδείξετε ότι:
α) το \(P(x)\) έχει παράγοντα το \(x-1\) και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης \(P(x):(x-1)\).
(Μονάδες 6)
β) \(P(x)<0\) για κάθε \(x\in (-\infty ,-1)\cup (1,2)\).
(Μονάδες 7)
γ) \(1<\log{2}0<2\).
(Μονάδες 6)
δ) \(P(\log{2}0)<0\).
(Μονάδες 6)
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Είναι \(P(1)=1^{3}-2\cdot 1^{2}-1+2=1-2-1+2=0\) που σημαίνει ότι το \(P(x)\) έχει παράγοντα το \(x-1\). Το σχήμα Horner για τη διαίρεση \(P(x):(x-1)\) φαίνεται παρακάτω:
Συνεπώς \(P(x)=(x-1)(x^{2}-x-2)\).
β) Το πρόσημο του \(P(x)=(x-1)(x^{2}-x-2)\) φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:
Συνεπώς \(P(x)<0\) για κάθε \(x\in (-\infty ,-1)\cup (1,2)\).
γ) Είναι \(10<20<100\)
\(\Rightarrow \log{1}0<\log{2}0<\log{1}00\)
\(\Rightarrow 1<\log{2}0<2.\)
δ) Αφού \(P(x)<0\) για κάθε \(x\in (-\infty ,-1)\cup (1,2)\) και \(1<\log{2}0<2\) συμπεραίνουμε ότι \(P(\log{2}0)<0\).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).