Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 38790 | Ύλη: | 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης 6.3. Η Συνάρτηση ƒ(x) = αx + β |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 38790 |
| Ύλη: | 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης 6.3. Η Συνάρτηση ƒ(x) = αx + β |
| Τελευταία Ενημέρωση: 15-Δεκ-2025 | |
ΘΕΜΑ 4
Το σύστημα θέρμανσης και ψύξης στο σπίτι της Ελένης έχει σχεδιαστεί, ώστε να διατηρείται η θερμοκρασία στο εσωτερικό του όσο το δυνατόν πιο κοντά στους \(23℃\). Η Ελένη σε μια ανοιξιάτικη ημέρα σημείωσε τη θερμοκρασία \(Τ\) μέσα στο σπίτι της σε δύο διαφορετικές χρονικές στιγμές. Παρατήρησε ότι η θερμοκρασία \(Τ\) είχε απόσταση \(2℃\) από την επιθυμητή θερμοκρασία των \(23℃\)
α) Να γράψετε μία εξίσωση για τη θερμοκρασία \(Τ\), που να αποτυπώνει αυτό που παρατήρησε η Ελένη.
(Μονάδες 4)
β) Το σύστημα θέρμανσης και ψύξης του σπιτιού επίσης έχει ρυθμιστεί, ώστε να διατηρεί την εσωτερική θερμοκρασία \(Τ\) σε ένα εύρος «άνετων» θερμοκρασιών. Αυτό μπορεί να προκύψει από τη σχέση:
\(|Τ-23∣ \le 5\) .
Ποιο είναι αυτό το εύρος των θερμοκρασιών \(Τ\) που επιτρέπει το σύστημα θέρμανσης και ψύξης του σπιτιού της Ελένης;
(Μονάδες 6)
γ) Το σύστημα ψύξης έχει ρυθμιστεί, ώστε να δροσίζει το χώρο. Όταν η εξωτερική θερμοκρασία είναι \(x\), η θερμοκρασία μέσα στο σπίτι δίνεται από τον τύπο
\(Τ_{1}(x)=\dfrac{1}{3}x+17\), όπου \(28°C \le 40°C\).
Για ποιο εύρος εξωτερικών θερμοκρασιών το σπίτι θα διατηρείται σε μια άνετη θερμοκρασία μεταξύ \(18℃\) και \(28℃\) ;
(Μονάδες 9)
δ) Το σύστημα θέρμανσης από την άλλη είναι αυτό που κρατάει ζεστό το σπίτι. Η γραφική παράσταση δείχνει τη θερμοκρασία \(Τ\) μέσα στο σπίτι, όταν η εξωτερική θερμοκρασία \(x\) κυμαίνεται μεταξύ \(-10°C\) και \(18°C\).
Ποια από τις παρακάτω προτάσεις θα μπορούσε να περιγράψει λεκτικά τη συνάρτηση της γραφικής παράστασης;
- Για κάθε έναν βαθμό Κελσίου που αυξάνεται η εξωτερική θερμοκρασία, η εσωτερική θερμοκρασία αυξάνεται κατά το \(1/10\) του βαθμού.
- Η εξωτερική θερμοκρασία αυξάνεται κατά \(0,1\) βαθμούς Κελσίου για κάθε έναν βαθμό που αυξάνεται η εσωτερική.
- Η εσωτερική θερμοκρασία είναι το \(1/10\) της εξωτερικής.
- Η εξωτερική θερμοκρασία είναι αυξημένη κατά \(17\) βαθμούς περισσότερο από την εξωτερική αυξημένη κατά το \(1/10\) της εσωτερικής.
(Μονάδες 6)
Το παραπάνω θέμα αναπτύχθηκε στο πλαίσιο του έργου: «Ανάπτυξη Δοκιμασιών Αξιολόγησης Δεξιοτήτων Εγγραμματισμού στα μαθήματα της Νεοελληνικής Γλώσσας και Λογοτεχνίας, της Άλγεβρας, της Φυσικής και της Χημείας Α’ Λυκείου Γενικού Λυκείου» Ανάδοχος: «Ειδικός Λογαριασμός Κονδυλίων Έρευνας (Ε.Λ.Κ.Ε) Πανεπιστημίου Ιωαννίνων» ΑΔΑΜ: 25SYMV016348911 2025-02-20.
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Η εξίσωση για τη θερμοκρασία \(Τ\) που αποτυπώνει αυτό που παρατήρησε η Ελένη είναι η:
\(|Τ-23|=2\)
β) \(|Τ-23|\le 5\)
\(\Leftrightarrow -5\le Τ-23\le 5\)
\(\Leftrightarrow -5+23\le Τ\le 5+23\)
\(\Leftrightarrow 18\le Τ\le 28\).
Το εύρος των «άνετων» θερμοκρασιών \(Τ\) που επιτρέπει το σύστημα θέρμανσης του σπιτιού της Ελένης είναι από \(18℃\) έως και \(28℃\).
γ) Όταν είναι ενεργό το σύστημα ψύξης:
$$18\le T_{1}(x)\le 28$$ $$\Leftrightarrow 18\le \dfrac{1}{3}x+17\le 28 $$ $$\Leftrightarrow 18-17\le \dfrac{1}{3}x\le 28-17 $$ $$\Leftrightarrow 1\le x\le 11 $$ $$\Leftrightarrow 3\le x\le 33\ \ \ \ (1)$$
Ο τύπος \(T_{1}(x)\) όμως ισχύει για θερμοκρασίες \(28 \le 40\ \ \ \ (2)\).
Κάνουμε συναλήθευση των δύο ανισώσεων (1) και (2) και προκύπτει \(28 \le 33\). Άρα το εύρος των εξωτερικών θερμοκρασιών \(x\), για τις οποίες η εσωτερική θερμοκρασία του σπιτιού διακυμαίνεται εντός του άνετου εύρους, όταν λειτουργεί το σύστημα ψύξης, είναι μεγαλύτερο από \(28^ο C\) έως και \(33^οC\).
δ) Η πρόταση που περιγράφει λεκτικά τον τύπο \(Τ\) της γραφικής παράστασης είναι η 1.
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).