Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 38805 | Ύλη: | 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 6.3. Η Συνάρτηση ƒ(x) = αx + β |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 38805 |
| Ύλη: | 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 6.3. Η Συνάρτηση ƒ(x) = αx + β |
| Τελευταία Ενημέρωση: 18-Οκτ-2025 | |
ΘΕΜΑ 4
Το πιο ευρέως χρησιμοποιούμενο υλικό για τη μεταφορά ηλεκτρικής ενέργειας στις μέρες μας είναι ο χαλκός, ο οποίος όχι μόνο είναι εξαιρετικός αγωγός του ηλεκτρισμού, αλλά και ένα φθηνό υλικό με υψηλή ολκιμότητα (μορφοποιείται εύκολα σε σύρμα). Η αντίσταση \((R)\) του χαλκού αλλάζει όταν μεταβάλλεται η θερμοκρασία \((T)\), και συγκεκριμένα αυξάνεται με την αύξηση της θερμοκρασίας. Μέσα σε ένα ευρύ φάσμα θερμοκρασιών (περίπου \(-200°C\) έως \(500°C\)), αυτή η σχέση είναι γραμμική, δηλαδή της μορφής \(R=αT+β\). Για ένα συγκεκριμένο κομμάτι χάλκινου σύρματος, η αντίσταση είναι \(R=12,56 Ω (Ohm)\) σε θερμοκρασία \(T=0°C\). Όταν η θερμοκρασία αυξάνεται στους \(27°C\), η αντίσταση αυξάνεται στα \(13,8 Ω\).
α) Να βρείτε την εξίσωση που χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της αντίστασης \(R\) στο σύρμα σε σχέση με τη θερμοκρασία του \(T\).
(Μονάδες 7)
β) Να προσδιορίσετε την κλίση της ευθείας \(R=αT+β\) που βρήκατε στο α) ερώτημα και να επιλέξετε ποια από τις παρακάτω προτάσεις περιγράφει τι αντιπροσωπεύει αυτή η κλίση. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
- Τη μεταβολή της αντίστασης, όταν η θερμοκρασία αυξάνεται κατά \(1°C\).
- Τη αντίσταση, όταν η θερμοκρασία είναι \(0°C\).
- Τη θερμοκρασία, στην οποία η αντίσταση θα ήταν \(0 Ω\).
- Τη μεταβολή της θερμοκρασίας, όταν η αντίσταση αυξάνεται κατά \(1 Ω\).
(Μονάδες 6)
γ) Γενικά, όσο μικρότερη είναι η αντίσταση στο σύρμα, τόσο μειώνονται οι απώλειες ισχύος, όταν περνάει ρεύμα. Γι’ αυτό θέλουμε να έχουμε όσο το δυνατόν μικρότερη αντίσταση. Με δεδομένο ότι σε ένα ευρύ φάσμα θερμοκρασιών η σχέση μεταξύ της αντίστασης και της θερμοκρασίας περιγράφεται από την εξίσωση \(R=0,046T+12,56\), να βρείτε:
Σε ποια θερμοκρασία η αντίσταση θα μειωνόταν στα \(10,26 Ω\).
(Μονάδες 4)Μεταξύ ποιων τιμών θα κυμαίνεται η αντίσταση του σύρματος, αν \(d(T,-50℃)\le 50℃\).
(Μονάδες 8)
Δίνεται ότι \(1,24÷27\approxeq 0,046\).
Το παραπάνω θέμα αναπτύχθηκε στο πλαίσιο του έργου: «Ανάπτυξη Δοκιμασιών Αξιολόγησης Δεξιοτήτων Εγγραμματισμού στα μαθήματα της Νεοελληνικής Γλώσσας και Λογοτεχνίας, της Άλγεβρας, της Φυσικής και της Χημείας Α’ Λυκείου Γενικού Λυκείου» Ανάδοχος: «Ειδικός Λογαριασμός Κονδυλίων Έρευνας (Ε.Λ.Κ.Ε) Πανεπιστημίου Ιωαννίνων» ΑΔΑΜ: 25SYMV016348911 2025-02-20.
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Η σχέση είναι της μορφής \(R=αT+β\).
Η αντίσταση είναι \(12,56 Ω\) σε θερμοκρασία \(0°C\), οπότε: \(12,56=α\cdot 0+β\), δηλαδή \(β=12,56\).
Άρα η εξίσωση γίνεται \(R=αT+12,56\).
Όταν η θερμοκρασία αυξάνεται στους \(27°C\), η αντίσταση αυξάνεται στα \(13,8 Ω\), οπότε
\(13,8=α\cdot 27+12,56\), δηλαδή \(1,24=27α\), οπότε \(α=0,046\) (στρογγυλοποίηση στο χιλιοστό).
Άρα η ζητούμενη εξίσωση είναι \(R=0,046T+12,56\).
β) Η κλίση της ευθείας \(R=0,046T+12,56\) είναι \(0,046\).
Η πρόταση που περιγράφει τι αντιπροσωπεύει η κλίση είναι η πρόταση i., διότι:
όταν η θερμοκρασία αυξηθεί κατά \(1°C\), η νέα αντίσταση του χάλκινου σύρματος θα είναι
\(R'=0,046(T+1)+12,56=(0,046Τ+12,56)+0,046=R+0,046\), δηλαδή η αντίσταση θα μεταβληθεί (για την ακρίβεια θα αυξηθεί) κατά \(0,046Ω\).
γ)
- Στην εξίσωση \(R=0,046T+12,56\) για \(R=10,26Ω\), έχουμε:
\(10,26=0,046T+12,56\), ισοδύναμα
\(-2,30=0,046T\) και τελικά
\(Τ=-50℃\). - Έχουμε
\(d(T,-50℃)\le 50℃\)
\(\Leftrightarrow |Τ+50|\le 50\)
\(\Leftrightarrow -50\le Τ+50\le 50\)
\(\Leftrightarrow -100\le Τ\le 0\), οπότε
\(-100\cdot 0,046+12,56\le 0,046Τ+12,56\le 0\cdot 0,046+12,56\) και τελικά
\(7,96\le R\le 12,56\). Άρα η αντίσταση του σύρματος θα είναι από \(7,96 Ω\) μέχρι \(12,56Ω\).
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).