Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	38808	Ύλη:	3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 6.3. Η Συνάρτηση ƒ(x) = αx + β

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	38808
Ύλη:	3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 6.3. Η Συνάρτηση ƒ(x) = αx + β
Τελευταία Ενημέρωση: 06-Δεκ-2025

ΘΕΜΑ 4
Οι σεισμοί μπορούν να προκαλέσουν τεράστιες ζημιές, συμπεριλαμβανομένης της απώλειας ανθρώπινων ζωών, και έτσι είναι ένας σημαντικός τομέας μελέτης. Ο προσδιορισμός της θέσης του επίκεντρου ενός σεισμού (δηλαδή του σημείου της επιφάνειας της γης που απέχει τη μικρότερη απόσταση από το πραγματικό κέντρο του σεισμού) είναι χρήσιμος για την πρόβλεψη ζημιών και της συμπεριφοράς μελλοντικών σεισμών. Μια τεχνική για να προσδιοριστεί το επίκεντρο περιλαμβάνει τον υπολογισμό της απόστασής του από έναν σεισμογράφο. Αυτό μπορεί να γίνει με τη μελέτη των διαφορετικών κυμάτων που παράγονται από τον σεισμό (σεισμικά κύματα).
Αυτοί οι τύποι κυμάτων περιλαμβάνουν τα κύματα $P$ (πρωτεύοντα κύματα) και τα κύματα $S$ (δευτερεύοντα κύματα). Από μια σεισμική δόνηση ξεκινούν ταυτόχρονα τόσο τα κύματα $P$ όσο και τα κύματα $S$. Τα κύματα $P$ ταξιδεύουν πιο γρήγορα κοντά στην επιφάνεια της γης από τα κύματα $S$.

α) Ποιο από τα παρακάτω γραφήματα περιγράφει τις πληροφορίες που αφορούν τα κύματα $P$ και $S$ ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
Α.

Β.

Γ.

(Μονάδες 8)

β) Κοντά σε έναν σεισμογράφο τα κύματα $P$ ταξιδεύουν με ταχύτητα $7,6 km/s$ και τα κύματα $S$ με ταχύτητα $4,5 km/s$. Το κύμα $P$ φτάνει στο σεισμογράφο $19\ sec$ (δευτερόλεπτα) πριν από το κύμα $S$. Ο σεισμογράφος απέχει από το επίκεντρο του σεισμού απόσταση $d$ και $t_{P}$ είναι ο χρόνος που χρειάζεται το κύμα $P$, για να φτάσει από το επίκεντρο του σεισμού στον σεισμογράφο. Να βρείτε:

i. Τις εξισώσεις των ευθειών $(P)$ και $(S)$ που αναπαριστούν την κίνηση των κυμάτων $P$ και $S$ αντίστοιχα.
(Μονάδες 8)

ii. Τον χρόνο που χρειάζεται το κάθε κύμα, για να φτάσει από το επίκεντρο του σεισμού στον σεισμογράφο, και την απόσταση $d$ του σεισμογράφου από το επίκεντρο του σεισμού.
(Μονάδες 9)

Το παραπάνω θέμα αναπτύχθηκε στο πλαίσιο του έργου: «Ανάπτυξη Δοκιμασιών Αξιολόγησης Δεξιοτήτων Εγγραμματισμού στα μαθήματα της Νεοελληνικής Γλώσσας και Λογοτεχνίας, της Άλγεβρας, της Φυσικής και της Χημείας Α’ Λυκείου Γενικού Λυκείου» Ανάδοχος: «Ειδικός Λογαριασμός Κονδυλίων Έρευνας (Ε.Λ.Κ.Ε) Πανεπιστημίου Ιωαννίνων» ΑΔΑΜ: 25SYMV016348911 2025-02-20.

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ
α) Το $Β$ γράφημα περιγράφει τις πληροφορίες που αφορούν τα κύματα $P$ και $S$, γιατί είναι το μόνο στο οποίο τα κύματα ξεκινούν μαζί και το $P$ διανύει πιο γρήγορα (περίπου $19 sec$ πιο γρήγορα) απόσταση περίπου $200km$.
Στο γράφημα $Α$ δεν ξεκινούν μαζί (το $S$ έχει ξεκινήσει πιο πριν) και στο $Γ$ γράφημα, ενώ ξεκινούν μαζί, το $S$ είναι πιο γρήγορο.

β)
i. Κοντά σε έναν σεισμογράφο τα κύματα $P$ ταξιδεύουν με ταχύτητα $7,6 km/s$, άρα η απόσταση $y$ που διανύουν ως συνάρτηση του χρόνου $t$ εκφράζεται από τη σχέση $y=7,6t$, που είναι η εξίσωση της ευθείας $(P)$. Τα κύματα $S$ ταξιδεύουν με ταχύτητα $4,5 km/s$. Άρα η ευθεία $(S)$ έχει εξίσωση $y=4,5t$.
ii. Η απόσταση $d$ του σεισμογράφου από το επίκεντρο του σεισμού διανύεται από το κύμα $P$ σε χρόνο $t_{P}$ και από το κύμα $S$ σε χρόνο $t_{P}+19)$, αφού το $S$ θα φτάσει $19\ sec$ αργότερα από το $P$ στον σεισμογράφο. Άρα $d=7,6t_{p}$ και $d=4,5(t_{P}+19)$$

Οπότε $7,6t_{p}=4,5(t_{P}+19)$, δηλαδή $3,1t_{p}=85,5$ και τελικά $t_{p}\approxeq 28\ sec$.
Άρα $d=7,6\cdot 28=212,8km$.
Τελικά, η απόσταση $d$ του σεισμογράφου από το επίκεντρο του σεισμού είναι

$$d=212,8km$$, ο χρόνος που χρειάστηκε το κύμα $P$ για να φτάσει στον σεισμογράφο είναι $t_{p}\approxeq 28\ sec$ και ο χρόνος που χρειάστηκε το κύμα $S$ να φτάσει στον σεισμογράφο είναι

$$t_{P}+19=28+19=47 sec$$ περίπου.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).