Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	38809	Ύλη:	2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	38809
Ύλη:	2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού
Τελευταία Ενημέρωση: 07-Μαΐ-2026

ΘΕΜΑ 4
Δύο μοτοσυκλέτες κινούνται σε αντίθετες κατευθύνσεις στην Εγνατία οδό. Η μία ξεκινά από την Καβάλα με σταθερή ταχύτητα $120km/h$ και η άλλη ξεκινά ταυτόχρονα από τα Ιωάννινα με σταθερή ταχύτητα $100km/h$. Η Καβάλα απέχει $407$ χιλιόμετρα από τα Ιωάννινα.

Οι αναβάτες θέλουν να μπορούν να συνεννοηθούν. Για τον λόγο αυτό είναι εξοπλισμένοι με ασύρματους ενδοεπικοινωνίας, αλλά πρέπει να είναι σε απόσταση το πολύ $10$ χιλιομέτρων η μια μοτοσυκλέτα από την άλλη, για να μπορούν να έρθουν σε επαφή. Αν $t$ είναι ο χρόνος σε ώρες μετά την αρχή του ταξιδιού:
α) Πώς εκφράζεται η απόσταση που έχει κάθε μοτοσυκλέτα από την Καβάλα ως συνάρτηση του χρόνου $t$ ;
(Μονάδες 6)
β) Πότε θα μπορέσουν να επικοινωνήσουν μεταξύ τους οι αναβάτες;
(Μονάδες 8)
γ) Πότε θα διασταυρωθούν και πόσα χιλιόμετρα θα έχει διανύσει κάθε μοτοσυκλέτα;
(Μονάδες 7)
δ) Μετά τη διασταύρωσή τους και καθώς θα απομακρύνεται η μια μοτοσυκλέτα από την άλλη, για πόσο χρόνο ακόμα θα μπορούν να επικοινωνούν οι αναβάτες χρησιμοποιώντας τους ασυρμάτους;
(Μονάδες 4)

Δίνεται ότι: $417÷220\approxeq 1,9$ και $397÷220\approxeq 1,8$$

Το παραπάνω θέμα αναπτύχθηκε στο πλαίσιο του έργου: «Ανάπτυξη Δοκιμασιών Αξιολόγησης Δεξιοτήτων Εγγραμματισμού στα μαθήματα της Νεοελληνικής Γλώσσας και Λογοτεχνίας, της Άλγεβρας, της Φυσικής και της Χημείας Α’ Λυκείου Γενικού Λυκείου» Ανάδοχος: «Ειδικός Λογαριασμός Κονδυλίων Έρευνας (Ε.Λ.Κ.Ε) Πανεπιστημίου Ιωαννίνων» ΑΔΑΜ: 25SYMV016348911 2025-02-20.

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ
α) Υποθέτουμε ότι η μοτοσυκλέτα που ξεκινάει από την Καβάλα είναι η $Α$ και εκείνη που ξεκινάει από τα Ιωάννινα είναι η $Β$. Μετά από $t$ ώρες από την έναρξη του ταξιδιού, η μοτοσυκλέτα $Α$ θα βρίσκεται σε απόσταση $120t$ χιλιομέτρων από την Καβάλα και η μοτοσυκλέτα $Β$ σε απόσταση $100t$ χιλιομέτρων από τα Ιωάννινα, δηλαδή $(407-100\cdot t)$ χιλιομέτρων από την Καβάλα.
β) Για να επικοινωνήσουν, θα πρέπει να είναι σε απόσταση το πολύ $10$ χιλιομέτρων η μια μοτοσυκλέτα από την άλλη, δηλαδή

$$|(407-100\cdot t)-120\cdot t|\le 10$$

οπότε

$$|(407-220\cdot t)|\le 10$$

$$\Leftrightarrow -10\le 407-220\cdot t\le 10$$ $$\Leftrightarrow -417\le -220\cdot t\le -397$$ $$\Leftrightarrow 1,8\le t\le 1,9$$

Άρα θα επικοινωνήσουν μετά από $1$ ώρα και $48$ λεπτά ($1,8=1\dfrac{8}{10}=1\dfrac{48}{60})$ και μέχρι $1$ ώρα και $54$ λεπτά ($1,9=1\dfrac{9}{10}=1\dfrac{54}{60})$ από την έναρξη του ταξιδιού.
γ) Θα διασταυρωθούν όταν μηδενιστεί η απόσταση μεταξύ τους, δηλαδή

$$|(407-100\cdot t)-120\cdot t|=0 $$ $$\Leftrightarrow 407-220\cdot t=0$$ $$\Leftrightarrow t=1,85$$

Άρα θα διασταυρωθούν $1$ ώρα και $51$ λεπτά ($1,85=1\dfrac{85}{100}=1\dfrac{17}{20}=1\dfrac{51}{60}$) μετά την έναρξη του ταξιδιού.

Η μοτοσυκλέτα $Α$ θα έχει διανύσει $120\cdot 1,85=222$ χιλιόμετρα (από την Καβάλα) και η μοτοσυκλέτα $Β$ θα έχει διανύσει $100\cdot 1,85=185$ χιλιόμετρα (από τα Ιωάννινα).

δ) Από το β) και το γ) ερώτημα, βλέπουμε ότι θα συναντηθούν σε $1$ ώρα και $51$ λεπτά μετά την έναρξη του ταξιδιού και έχουν επικοινωνία μέχρι $1$ ώρα και $54$ λεπτά από την έναρξη του ταξιδιού. Άρα, καθώς απομακρύνονται, θα έχουν ακόμα $3$ λεπτά τη δυνατότητα να επικοινωνούν με τους ασυρμάτους.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).