Τράπεζα Θεμάτων
www.trapeza-thematon.gr
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο | Τάξη: | Α' Λυκείου |
|---|---|---|---|
| Μάθημα: | Άλγεβρα | Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 38822 | Ύλη: | 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού |
| Τύπος Σχολείου: | Γενικό Λύκειο |
|---|---|
| Τάξη: | Α' Λυκείου |
| Μάθημα: | Άλγεβρα |
| Θέμα: | 4 |
| Κωδικός Θέματος: | 38822 |
| Ύλη: | 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού |
| Τελευταία Ενημέρωση: 19-Δεκ-2025 | |
ΘΕΜΑ 4
Ένας μαραγκός θέλει να αφαιρέσει ένα μέρος σχήματος \(«Γ»\) από ένα ορθογώνιο κομμάτι ξύλου διαστάσεων \(8\) επί \(12dm\), για να κατασκευάσει μια ντουλάπα. Το μέρος που θα κρατήσει, για να χρησιμοποιήσει, είναι επίσης ορθογώνιο, μικρότερο του αρχικού, όπως είναι το σκιασμένο μέρος του παρακάτω σχήματος.
α) Αν \(x\) είναι το πλάτος του \(«Γ»\) που θα κόψει ο μαραγκός, να αποδείξετε ότι η παράσταση
$$x^{2}-20x+96$$
εκφράζει το εμβαδόν του ορθογωνίου που θα κρατήσει, για να χρησιμοποιήσει.
(Μονάδες 5)
β) Ο μαραγκός θέλει από το αρχικό κομμάτι ξύλου να κόψει και να χρησιμοποιήσει ένα ορθογώνιο με εμβαδόν \(45 dm^2\).
i. Πόσο είναι το πλάτος \(x\) του \(«Γ»\) που πρέπει να κόψει;
(Μονάδες 10)
ii. Ο μαραγκός από την εμπειρία του έχει διαπιστώσει ότι, για να μπορεί να διορθώνει λάθη κατά την εργασία του, το κομμάτι ξύλου που κόβει πρέπει να έχει τουλάχιστον \(2%\) μεγαλύτερο εμβαδό από αυτό της τελικής κατασκευής. Να γράψετε μια ανίσωση που η λύση της να δίνει το πλάτος \(x\) του \(«Γ»\) για αυτή την περίπτωση.
(Μονάδες 5)
iii. Αν ο μαραγκός κόψει το \(«Γ»\) με πλάτος \(2,9dm\) , τότε θα μπορεί να διορθώσει λάθη, όπως περιγράφεται στο υποερώτημα ii;
(Μονάδες 5)
Το παραπάνω θέμα αναπτύχθηκε στο πλαίσιο του έργου: «Ανάπτυξη Δοκιμασιών Αξιολόγησης Δεξιοτήτων Εγγραμματισμού στα μαθήματα της Νεοελληνικής Γλώσσας και Λογοτεχνίας, της Άλγεβρας, της Φυσικής και της Χημείας Α’ Λυκείου Γενικού Λυκείου» Ανάδοχος: «Ειδικός Λογαριασμός Κονδυλίων Έρευνας (Ε.Λ.Κ.Ε) Πανεπιστημίου Ιωαννίνων» ΑΔΑΜ: 25SYMV016348911 2025-02-20.
Απάντηση Θέματος:
ΛΥΣΗ
α) Οι διαστάσεις του σκιασμένου μέρους είναι \(8-x\) και \(12-x\), με \(0<x<8\), καθώς η μικρότερη διάσταση του ορθογώνιου κομματιού ξύλου είναι \(8dm\).
Άρα το εμβαδόν του είναι \((8-x)(12-x)=8\cdot 12-8x-12x+x^{2}=x^{2}-20x+96\).
β)
i. Για να υπολογίσουμε το πλάτος \(x,\) θα λύσουμε την εξίσωση \(x^{2}-20x+96=45\).
Ισοδύναμα \(x^{2}-20x+96-45=0\) ή \(x^{2}-20x+51=0\).
Άρα \(α=1, β=-20, γ=51\) και \(Δ=(-20)^{2}-4\cdot 1\cdot 51=400-204=196\).
Eπομένως:
$$x_{2}=\dfrac{-(-20)\pm \sqrt{196}}{2}=\dfrac{20\pm 14}{2}$$
Άρα \(x_{1}=\dfrac{20+14}{2}=17\) και \(x_{2}=\dfrac{20-14}{2}=3\).
H \(x_{1}=17\) απορρίπτεται, γιατί πρέπει \(0<x<8\).
Δεκτή είναι η \(x_{2}=3\).
Άρα το πλάτος του \(«Γ»\) είναι πρέπει να είναι \(3dm\).
ii. Το εμβαδόν του σκιασμένου ορθογωνίου πρέπει να είναι μεγαλύτερο του \(45dm^{2}\)
κατά τουλάχιστον \(2%\) , δηλαδή από \(45+2%\cdot 45=45,9dm^{2}\)
Άρα πρέπει να ισχύει:
$$x^{2}-20x+96\ge 45,9$$.
iii. Αν \(x=2,9dm\), τότε το εμβαδόν του χρωματισμένου ορθογωνίου είναι:
$$2,9^{2}-20\cdot 2,9+96=46,41dm^{2}$$.
Εφόσον \(46,41>45,9\), ο μαραγκός θα μπορεί να διορθώσει λάθη στην κατασκευή.
Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).