Τράπεζα Θεμάτων

www.trapeza-thematon.gr

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο	Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα	Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	38829	Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος

Τύπος Σχολείου:	Γενικό Λύκειο
Τάξη:	Α' Λυκείου
Μάθημα:	Άλγεβρα
Θέμα:	4
Κωδικός Θέματος:	38829
Ύλη:	3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος
Τελευταία Ενημέρωση: 19-Δεκ-2025

ΘΕΜΑ 4
Η Μαρία είναι φοιτήτρια και προσπαθεί να οργανώσει το διάβασμά της για τις εξετάσεις του Ιουνίου, στις οποίες πρέπει να δώσει τρία μαθήματα. Έφτιαξε τον παρακάτω πίνακα, όπου έχει σημειώσει τη σειρά με την οποία δίνει το κάθε μάθημα και τον αριθμό των σελίδων που έχει να διαβάσει για καθένα από αυτά. Ο στόχος της είναι να έχει ολοκληρώσει την ύλη και των τριών μαθημάτων τουλάχιστον δύο μέρες πριν από την έναρξη των εξετάσεων, που είναι στις $15/6$. Σκέφτεται λοιπόν να ξεκινήσει διαβάζοντας $20$ σελίδες και κάθε επόμενη ημέρα να διαβάζει $5$ σελίδες περισσότερες από την προηγούμενη.

α) Πόσες σελίδες θα διαβάσει η Μαρία την 5η μέρα;
(Μονάδες 4)
β) Θα προλάβει να ολοκληρώσει την ύλη του πρώτου μαθήματος $Μ1$ μέσα σε $8$ ημέρες, αν έχει ξεκινήσει το διάβασμά της από αυτό το μάθημα; Να εξηγήσετε τη σκέψη σας.
(Μονάδες 6)
γ) Πόσες μέρες θα χρειαστεί η Μαρία, για να διαβάσει όλες τις σελίδες από την ύλη και των τριών μαθημάτων, ακολουθώντας το ρυθμό διαβάσματος που όρισε η ίδια;
($\sqrt{1601}\approxeq 40$)
(Μονάδες 8)
δ) Αν η Μαρία διαβάζει τα μαθήματα διαδοχικά με τη σειρά την οποία θα τα δώσει στις εξετάσεις, αφήνοντας το $Μ3$ τελευταίο, πόσες ημέρες θα χρειαστεί για να διαβάσει το $Μ3$, αφού έχει ολοκληρώσει το $Μ1$ και το $Μ2$, ακολουθώντας πάντα τον ίδιο ρυθμό διαβάσματος τον οποίο όρισε; Πότε πρέπει να αρχίσει να διαβάζει το $Μ3$, ώστε να ολοκληρώσει το διάβασμά της τουλάχιστον δύο μέρες πριν αρχίσουν οι εξετάσεις;
(Μονάδες 7)

Το παραπάνω θέμα αναπτύχθηκε στο πλαίσιο του έργου: «Ανάπτυξη Δοκιμασιών Αξιολόγησης Δεξιοτήτων Εγγραμματισμού στα μαθήματα της Νεοελληνικής Γλώσσας και Λογοτεχνίας, της Άλγεβρας, της Φυσικής και της Χημείας Α’ Λυκείου Γενικού Λυκείου» Ανάδοχος: «Ειδικός Λογαριασμός Κονδυλίων Έρευνας (Ε.Λ.Κ.Ε) Πανεπιστημίου Ιωαννίνων» ΑΔΑΜ: 25SYMV016348911 2025-02-20.

Απάντηση Θέματος:

ΛΥΣΗ
α) Η Μαρία διαβάζει κάθε μέρα $5$ σελίδες περισσότερες από την προηγούμενη. Έτσι ο αριθμός των σελίδων που θα διαβάσει τη ν-οστή μέρα ακολουθεί μία αριθμητική πρόοδο με πρώτο όρο $α_{1}=20$ και διαφορά $ω=5$ η οποία δίνεται από τον τύπο $α_{ν}=α_{1}+(ν-1)ω$ Άρα ο αριθμός των σελίδων που θα διαβάσει την 5η μέρα είναι:

$$α_{5}=20+(5-1)\cdot 5=20+4\cdot 5=20+20=40$$

β) Για να δούμε αν θα προλάβει να διαβάσει η Μαρία την ύλη του $Μ1$ μαθήματος, που είναι $296$ σελίδες, θα πρέπει να βρούμε πόσες σελίδες θα έχει διαβάσει η Μαρία μέχρι και την 8η μέρα. Θα υπολογίσουμε το άθροισμα των σελίδων από τον τύπο

$$S_{v}=\dfrac{ν}{2}[2α_{1}+(ν-1)\cdot ω]$$

Άρα:

$$S_{8}=\dfrac{8}{2}[2\cdot 20+(8-1)\cdot 5]=4\cdot (40+35)=4\cdot 75=300$$

σελίδες.

Άρα, σε $8$ μέρες αφότου θα ξεκινήσει το διάβασμα θα μπορέσει να ολοκληρώσει την ύλη του πρώτου μαθήματος, που είναι $296$ σελίδες, αφού οι $296$ είναι λιγότερες από τις $300$ σελίδες.
γ) Όλη η ύλη είναι $296+274+400=970$ σελίδες. Για να βρούμε πόσες μέρες η Μαρία θα χρειαστεί συνολικά για να διαβάσει όλη την ύλη των $970$ σελίδων, θα χρησιμοποιήσουμε και πάλι τον τύπο $S{v}$, για να βρούμε όμως το $ν$.

$$S_{v}=970$$ $$\Leftrightarrow 970=\dfrac{ν}{2}[2\cdot 20+(ν-1)\cdot 5]$$ $$\Leftrightarrow 1.940=ν[40+(ν-1)\cdot 5]$$ $$\Leftrightarrow 1.940=40ν+5ν^{2}-5ν$$ $$\Leftrightarrow 5ν^{2}+35ν-1940=0$$ $$\Leftrightarrow ν^{2}+7ν-388=0$$ $$Δ=49+1.552=1.601$$ $$ν_{\text{1,2}}=\dfrac{-7\pm \sqrt{1.601}}{2}=\dfrac{-7\pm 40}{2},$$

οπότε

$$ν_{1}=\dfrac{33}{2},ν_{2}=\dfrac{-47}{2}$$

δηλαδή

$$ν_{1}\approxeq 16,5,ν_{2}\approxeq -23,5$$

Το $v{2}\approxeq -23,5$ απορρίπτεται. Άρα η Μαρία θα χρειαστεί $17$ ημέρες για να διαβάσει την ύλη και των $3$ μαθημάτων ή των $970$ σελίδων.
δ) Τα $2$ πρώτα μαθήματα $Μ1$ και $Μ2$ έχουν συνολικά $274+296=570$ σελίδες.
Αρχικά θα βρούμε σε πόσες μέρες θα ολοκληρώσει η Μαρία τις $570$ σελίδες υπολογίζοντας το $ν$ στην εξίσωση $S_{ν}=570$.

$$S_{v}=570$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{ν}{2}[2\cdot 20+(ν-1)\cdot 5]=570$$ $$\Leftrightarrow ν\cdot [40+(v-1)\cdot 5]=1.140$$ $$\Leftrightarrow 40ν+5ν^{2}-5ν=1.140$$ $$\Leftrightarrow 5ν^{2}+35ν-1.140=0 $$ $$\Leftrightarrow ν^{2}+7ν-228=0$$ $$Δ=961$$

$v_{,2}=\dfrac{-7\pm \sqrt{961}}{2}=\dfrac{-7\pm 31}{2}$

$v_{1}=\dfrac{-7+31}{2}=\dfrac{24}{2}=12$ ή $v_{2}=\dfrac{-7-31}{2}=\dfrac{-38}{2}=-19$, που απορρίπτεται.
Άρα για να ολοκληρώσει την ύλη των $2$ πρώτων μαθημάτων $Μ1$ και $Μ2$, δηλαδή τις $570$ πρώτες σελίδες, θα χρειαστεί $12$ ημέρες. Από το προηγούμενο ερώτημα είδαμε ότι χρειάζεται $17$ ημέρες για να διαβάσει την ύλη και των τριών μαθημάτων συνολικά, άρα, αν από τις $17$ ημέρες αφαιρέσουμε τις $12$ που θα χρειαστεί για τα $Μ1$ και $Μ2$, τότε για το $Μ3$ θα χρειαστεί συνολικά $5$ ημέρες, και συγκεκριμένα τις τελευταίες $5$ ημέρες του διαβάσματός της, ακολουθώντας πάντα τον ίδιο ρυθμό.
Εναλλακτικά, θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε το άθροισμα:

$$α_{13}+α_{14}+α_{15}+α_{16}=80+85+90+95=350$$

και μένουν και άλλες $50$ σελίδες, για να τις διαβάσει την 5η ημέρα στη σειρά από αυτές.
Άρα θα χρειαστεί $5$ ημέρες για να διαβάσει το τελευταίο μάθημα, και την 5η ημέρα από αυτές θα της μένουν να διαβάσει μόνο $50$ σελίδες αντί για $100$.
Άρα η ημερομηνία έναρξης διαβάσματος του $Μ3$ θα πρέπει να είναι το πολύ στις $9$ Ιουνίου, ώστε να έχει τελειώσει τουλάχιστον $2$ μέρες πριν από τις $15/6$, που είναι η έναρξη των εξετάσεων.

Το θέμα προέρχεται και αντλήθηκε από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).